Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Батыгин В.В. -> "Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория" -> 176

Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.

Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория: Учебное пособие — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 736 c.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка): sovremennayaelektrodinamikat12002.pdf
Предыдущая << 1 .. 170 171 172 173 174 175 < 176 > 177 178 179 180 181 182 .. 225 >> Следующая

Гейзенберга (Д3.23).
6.8. Найти коммутаторы [а71, at], \д)п, а], где п - любое натуральное
число.
6.9. Доказать операторные соотношения (Д3.69). Дифференцирование
выполняется формально, как если бы операторы были с-числами (не
операторами), но с сохранением порядка некоммутирующих операторов а, а).
6.10*. Доказать, что
^1] = ((s+ sf)' '-*¦)* [/'**' = ((3, +1)" -а'")1
где / - операторная функция из предыдущей задачи. Рассмотреть, в
частности, случай / = а1.
6.11*. Записать операторы векторов поля (6.13)-(6.15) в представлении
Гейзенберга. Показать, что уравнения движения для операторов Е, Н
сводятся к уравнениям Максвелла.
УКАЗАНИЕ. Использовать результат задачи 6.4 и формулу (Д3.35).
6.12*. Записать коммутационные соотношения для операторов компонент
электромагнитного поля в представлении Гейзенберга
[-Ea(ri,ti), Ep(r2,t2)\, Hp(r2,t2)\, [^a(ri,<i), Hp(r2,t2)\.
6.1. Квантовые состояния электромагнитного поля
577
Какие выводы можно сделать из полученных соотношений о возможности
одновременного наблюдения электромагнитного поля в разных
пространственно-временных точках?
УКАЗАНИЕ. Для суммирования по поляризациям использовать формулу (2.165).
6.13. Показать, что гейзенберговские операторы Еа(г\^\) и Дд(т*2, ?2) не
коммутируют, даже если точки 1 и 2 разделены пространственноподобным
интервалом. Согласуется ли это с принципом причинности?
6.14. Выразить оператор Р импульса электромагнитного поля через операторы
уничтожения и рождения фотонов, исходя из его классического выражения
(4.130) через напряженности Е, Н.
6.15. Вычислить среднеквадратичные флуктуации напряженностей поля АЕ2,
АН2 в вакуумном состоянии.
6.16*. Пусть прибор, измеряющий вакуумные флуктуации электромагнитного
поля, регистрирует их из ограниченной пространственно-временной области,
усредняя сигналы по этой области с весовой функцией g(r, t),
удовлетворяющей условиям
g(r,t)^ 0, J g(r, t)d3rdt = 1.
Интегрирование производится по бесконечному четырехмерному пространству.
Вычислить среднеквадратичные вакуумные флуктуации электрического и
магнитного полей, которые измерит такой прибор, приняв в качестве
усредняющей функции g(r,t) = Ce~r I21 S(t), С - постоянная нормировки, I
= const.
6.17*. Параллельные незаряженные металлические пластинки размером L х L
находятся в вакууме на расстоянии z друг от друга. Оценить по порядку
величины силу, действующую между ними, исходя из представления, что она
вызвана вакуумными флуктуациями электромагнитного поля в пространстве
между пластинами (эффект Казимира). Основная роль должна принадлежать
флуктуациям с длинами волн порядка расстояния между пластинами.
6.18**. Оценить по порядку величины сдвиг между 25-й 2р-уровня-ми в атоме
водорода (лэмбовский сдвиг), рассматривая его как результат возмущения
электронных состояний вакуумными флуктуациями электромагнитного поля.
6.19**. Произвести разделение полного момента импульса свободного
электромагнитного поля J на две части: на орбитальный момент L
относительно точки с радиусом-вектором го и спиновый момент S, не
зависящий
578
Глава 6
от выбора начала координат. Записать операторы орбитального и спинового
моментов через операторы векторного потенциала и электрического поля.
6.20*. Выразить оператор спинового момента S свободного электромагнитного
поля через операторы рождения и уничтожения фотонов. Для каких квантовых
состояний с определенным числом фотонов спиновый оператор
диагонализуется? Записать для этих состояний спин поля через числа
фотонов.
6.21*. Выразить интенсивность излучения Ia(u, ri), имеющего частоту ио,
поляризацию а и направление п, через число квантов N^a, где к =
= иоп/с.
Рис. 6.1
Состояния статистического равновесия электромагнитного поля возникают,
если излучение находится в динамическом равновесии с равновесным
веществом (например, с непроницаемыми для излучения стенками полости,
имеющими некоторую определенную температуру Т). При этом устанавливаются
некоторые средние значения чисел заполнения Ns фоков-ских состояний мод
электромагнитного поля.
6.1. Квантовые состояния электромагнитного поля
579
Пример 6.3. Вывести распределение Планка, т. е. найти средние по ансамблю
Гиббса числа заполнения мод s = (к, сг) электромагнитного поля фотонами3.
Решение. Отдельные моды (осцилляторы) электромагнитного поля не
взаимодействуют между собой, поэтому каждую из мод можно рассматривать
как независимую термодинамическую систему, взаимодействующую лишь с
термостатом при температуре Т. Роль термостата играет равновесное
вещество, излучающее, поглощающее и рассеивающее фотоны. Применяя
распределение Гиббса (Д3.44), записываем вероятность наличия Ns фотонов в
данной моде:
(1) wNs = 1- ехр . где ^ + \
- энергия моды согласно (6.4). Статистическая сумма моды согласно
(Д3.45) имеет значение
(2)
= ? -Р (-1) = е-/2 ? е~ап = где а = ^
Ns= О V ' п=0
(напомним, что температура Т измеряется в энергетических единицах).
С помощью вероятности (1) находим среднее число фотонов, приходящееся на
Предыдущая << 1 .. 170 171 172 173 174 175 < 176 > 177 178 179 180 181 182 .. 225 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed