Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
поля. В классической теории векторы электромагнитного поля А, Е, Н
согласно (2.151), (2.153)-(2.154) были представлены в виде разложений по
базисным функциям - плоским монохроматическим волнам с определенной
поляризацией:
выражаются через действительные канонические переменные QSl Ps
соотношениями (2.157). В результате квантования канонические переменные и
комплексные амплитуды превратились в операторы, действующие на обобщенные
координаты поля Qs. Операторы комплексных амплитуд удобно выразить через
операторы понижения и повышения, введенные равенствами (Д3.54):
При этом векторы электромагнитного поля (6.8)-(6.10) также становятся
операторами, действующими на обобщенные координаты Qs поля:
(6.8)
(6.9)
S
H(r, t) = i ^ к х {bs(t)sis(r) - b*s(t)ei*(r)} .
(6.10)
s
Здесь комплексные амплитуды
(6.11)
(6.12)
(6.13)
S
Ё(г) =г^^{ааА8(г)-а|А*(г)},
(6.14)
S
H(r) = i^k х {asAs(r) -^,4*(г)} .
(6.15)
S
574
Глава 6
Пространственные же координаты г выполняют теперь роль параметров,
нумерующих точки трехмерного пространства. В представлении Шредин-гера
зависимость комплексных амплитуд от времени после замены их операторами
согласно (6.12) исчезает. Базисные функции мод поля (волновые функции
фотонов) изменили нормировку и приняли вид
А-(г> = \f?r/-{r> = е-\[^е'к-'г- <6Л6>
Операторы а\, as согласно (Д3.63) повышают и понижают на единицу уровень
возбуждения осциллятора поля, т. е. (на языке фотонов) рождают и
уничтожают один фотон моды s. Поэтому в квантовой электродинамике
естественно называть их операторами рождения и уничтожения фотонов. При
использовании этих операторов более удобно выбирать в качестве обобщенных
координат поля не осцилляторные координаты Qs, а числа заполнения мод
поля фотонами Ns. Если квантовые состояния фотонов s зафиксированы, то
задание чисел заполнения определяет фоковское состояние электромагнитного
поля с исчерпывающей полнотой:
*{N.} = \{Ne}) = l[\Na). (6.17)
S
Числа заполнения являются собственными значениями оператора числа фотонов
Ns=alas. (6.18)
Пользуясь (Д3.63), находим:
a\\Ns) = ^NS + 11 Ns + 1), a\N.) = у/N~S\NS - 1), (6.19)
NS\NS) = NS\NS).
Сами же векторы состояний мод в представлении чисел заполнения можно
записать в виде
\Ns) = <?jvs(7V') = &ns N's • (6.20)
Здесь Ns - фиксированное собственное значение числа заполнения моды з, a
N's - аргумент волновой функции, т. е. произвольное число заполнения этой
моды, которое также имеет смысл числа фотонов, но является величиной
переменной.
6.1. Квантовые состояния электромагнитного поля
575
Пример 6.1. Показать, что операторы напряженностей электромагнитного поля
(6.14), (6.15) не коммутируют с гамильтонианом и, следовательно,
напряженности поля не имеют определенных значений в фоковских состояниях,
в том числе и в вакуумном.
Решение. Гамильтониан поля выражается через операторы чисел фотонов с
помощью (Д3.55) и (6.18):
Ж = J2^s(ns + ^\ . (6.21)
S '
Оператор Ns не коммутирует с as, а| той же моды (все операторы разных мод
коммутируют друг с другом). Поэтому операторы А, Е, Н не коммутируют с
гамильтонианом. Это означает, что напряженности Е, Н не имеют
определенных значений в состояниях с определенными числами фотонов и
испытывают, в частности, вакуумные флуктуации. ¦
Пример 6.2. Записать одномодовые операторы Ns, as, а) в представлении
чисел заполнения.
Решение. Числа заполнения дискретны, поэтому искомые операторы примут
форму матриц:
Nn>n = (iV'|iV|iV) = N5n'n; ^N'N = ^nSn'n]
r~ t /----- (6-22)
cln'n = v N5N',n-i; an>n = v N + 15/v',iv+b
где Sn дается равенством (6.4). Индекс 5 моды опущен. ¦
Рекомендуемая литература: [Ландау и Лифшиц, Квантовая механика],
[Берестецкий и др. (1989)], [Дирак (1990)], [Коэн-Таннуджи и др. (1992)],
[Гайтлер (1956)], [Фейнман (2000)], [Ициксон и Зюбер (1984)].
Задачи
6.1. Выразить гамильтониан Ж электромагнитного поля через операторы а\ а
рождения и уничтожения фотонов, исходя из классического выражения (2.148)
для энергии поля и используя операторы Е, Н.
6.2*. Проверить выполнение канонических уравнений Гамильтона для
операторов QSl Ps в представлениях Шредингера и Гейзенберга, пользуясь
гамильтонианом (6.2) и формулами для производной от оператора по времени
(Д3.34) и (Д3.35).
576
Глава 6
6.3*. Показать, что гейзенберговские операторы рождения и уничтожения
фотонов зависят от времени по закону
a) (t) = а^егС01, a(t) = ae~lUJt, (6.23)
где в правых частях равенств стоят те же операторы в представлении Шре-
дингера.
6.4. Найти зависимость от времени гейзенберговских операторов Q(t), P(t)
гармонического осциллятора.
6.5. Найти следующие средние значения в п-м стационарном состоянии
какой-либо из мод поля: a) a, at; б) р? Q; в) а2, (at)2; г) AQ2 • АР2.
6.6. Решить задачу об энергетическом спектре и стационарных одномодовых
состояниях электромагнитного поля в Р-представлении.
6.7*. Найти средние значения неопределенностей Q и Р в n-м состоянии
некоторой моды и проверить выполнение соотношения неопределенностей
