Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Батыгин В.В. -> "Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория" -> 174

Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.

Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория: Учебное пособие — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 736 c.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка): sovremennayaelektrodinamikat12002.pdf
Предыдущая << 1 .. 168 169 170 171 172 173 < 174 > 175 176 177 178 179 180 .. 225 >> Следующая

Осцилляторы поля. Будем исходить из гамильтоновой формы уравнений
электромагнитного поля в вакууме, рассмотренной в конце раздела 2.3. Там
было показано, что поле можно представить в виде эквивалентной
механической системы - набора бесконечного числа невзаимодействующих
гармонических осцилляторов. Каждому осциллятору соответствует собственное
колебание поля в виде плоской волны с определенным волновым вектором к,
поляризацией сг и частотой uok = ск. Значения волновых векторов согласно
(2.145) получаются дискретными, если на векторы поля наложены
периодические граничные условия. В дальнейшем для краткости будем
обозначать через s = (к, сг) индекс, характеризующий тип собственного
колебания (моды). Энергия Ж и импульс Р поля в объеме V выра-
6.1. Квантовые состояния электромагнитного поля
571
жаются через действительные канонические переменные - координаты Qs и
импульсы Ps осцилляторов поля - по формулам (2.160), (4.128), (4.130):
ж = -Р = Е%?' где ^s = l(P! + co2sQl) (6.1)
S S
- функция Гамильтона отдельного осциллятора поля. Квантование
электромагнитного поля - это применение квантовой механики к
эквивалентной системе невзаимодействующих осцилляторов (впервые квантовую
теорию электромагнитного поля развил Дирак (1927), см. [Дирак (1990)])
Фотоны. Решим методами квантовой механики задачу о стационарных
состояниях электромагнитного поля, т. е. вычислим возможные значения
энергии поля и соответствующие им волновые функции (векторы состояний)1.
По принципу соответствия составляем на основе классической функции
Гамильтона (6.1) квантовомеханический оператор (гамильтониан)
электромагнитного поля:
5f = ^5fs, ж8 = \ф2 + и2М), (6.2)
S
где операторы Ps должны удовлетворять перестановочным соотношениям
Гейзенберга для координаты и импульса: [Qs, Ps] = Поскольку осцилляторы
разных мод поля независимы, то полная волновая функция будет представлять
собой произведение волновых функций всех осцилляторов: Ф = и
задача сводится к решению стационарного уравнения
s
Шредингера
ЖаФа = ?s$s (6.3)
для одного осциллятора. Это решение получено в Дополнении 3. Уровни
энергии осциллятора даются выражением (Д3.61)
8а + N.=0,1,..., (6.4)
а волновые функции в координатном представлении выражаются через полиномы
Эрмита согласно (Д3.65), где надо положить n = Ns, ?= д/uos/hQs.
Полная энергия электромагнитного поля в объеме V представляет собой сумму
энергий всех осцилляторов:
S{a} = + (6.5)
S
Состояния, о которых идет речь, часто называют фоковскими по имени
выдающегося советского физика-теоретика В. А. Фока (1898-1974), глубоко
исследовавшего свойства гильбертова пространства этих состояний.
572
Глава 6
Оператор импульса поля Р = ^2к3Ж3/и3 коммутирует с его гамильтони-
s
аном, и импульс поля можно определить одновременно с энергией:
РМ = Z hk* (.Ns + |) = ^ (6.6)
s s
(последнее равенство следует из изотропии в распределении векторов ks).
Таким образом, энергия и импульс каждой моды поля разделены на отдельные
порции, соответственно hws и Hks = hcosns/c, величина которых
определяется частотой. Эти порции проявляют себя в процессах
взаимодействия с другими объектами как частицы с нулевой массой,
движущиеся со скоростью света. Впервые они были введены в рассмотрение
Планком2 (1900) для объяснения спектра равновесного электромагнитного
излучения, а термин "фотон" для них ввел Эйнштейн (1905).
Основному состоянию поля соответствует отсутствие фотонов во всех модах,
Ns = 0. При этом импульс поля обращается в нуль, Pq = 0, но энергия
основного состояния (нулевых колебаний осцилляторов) остается конечной,
g0 = \Y,hL°^ (6-?)
S
и, более того, бесконечно большой, так как мод поля бесконечно много и их
частоты ничем не ограничены. Появление в теории этой бесконечности - еще
одна трудность квантовой электродинамики (первая бесконечность,
отмеченная в разделах 2.1, 5.4 - бесконечная собственная энергия точечной
частицы - тоже сохраняется на квантовом уровне). Наличие нулевых
колебаний осцилляторов не вызывает сомнений. Они наблюдаются, в
частности, у атомов-осцилляторов в кристаллах при низких температурах.
Вакуумные колебания электромагнитного поля приводят к сдвигам атомных
уровней энергии (лэмбовский сдвиг, см. задачу 6.18). Наконец, в последнее
время появились данные космологического характера о существенном вкладе
энергии вакуума в наблюдаемую плотность материи во Вселенной. Поэтому
наличие энергии вакуума, по-видимому, можно считать установленным фактом.
Но бесконечное значение плотности энергии вакуума несомненно является
следствием несовершенства существующей теории. К счастью, эта трудность
не проявляется, когда речь идет об изменениях энергии электромагнитного
поля (например, при испускании и поглощении фотонов).
2Макс Планк (1858-1957) - выдающийся немецкий физик-теоретик, нобелевский
лауреат,
основоположник квантовой теории.
6.1. Квантовые состояния электромагнитного поля
573
Представление чисел заполнения и операторы электромагнитного
Предыдущая << 1 .. 168 169 170 171 172 173 < 174 > 175 176 177 178 179 180 .. 225 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed