Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
дифференцированию по dz = v dt, получим
(4)
efy = /(7, z) dz тс2
В этом уравнении переменные не разделяются, но можно исследовать знак
производной dj/dz и асимптотику. На больших расстояниях от пятна, z zq
<2, уравнение (4) может быть решено в аналитической форме. Максимальный
возможный лоренц-фактор определяется из трансцендентного уравнения
1 + \ 1 - Л - arcsin ^ I = 7о
где 7о - лоренц-фактор при z = zq, который нужно определять из численного
решения уравнения (4). Он существенно зависит от плотности г^о излучения.
560
Глава 5
5.137. Используем результат задачи 5.133. Плотность энергии излучения
убывает с расстоянием от центра звезды обратно пропорционально г2: w(r) =
L/Aircr2. Сила светового давления, действующая на электрон:
2 e4L 1
Fr = <7 Tw(r) =
3m2c5 г2
На протон действует сила, которая меньше в (те/тр)2 раз. Гравитационная
сила в основном действует на протон и имеет ту же зависимость от
расстояния: Fg = GMme/r2, где G = 6,67 х 10-8 см3/г-с2 - гравитационная
постоянная, М - масса звезды. Вследствие кулоновского взаимодействия
между протонами и электронами обе силы действуют на квазинейтральную
плазму в целом. Из равенства сил находим
4ircmvGM оо м
Lc =------------" 1038-ff- эрг/с,
аТ Mq
где М(c) и2х 1033 г - масса Солнца.
5.138. Исходим из уравнения Дирака-Лоренца (5.110), записанного через
импульс и ускорение:
ат тс бтс I аг с I
Тензор Fik должен содержать как поле волны, так и поляризационное поле
Ez, препятствующее продольному движению электрона. Исследуем стационарное
состояние, в котором энергия частицы 8 = тс27 = const, а трехмерный
импульс вращается в плоскости ху с частотой волны со:
(2) p(t) = р[ех cos (cot - if) - еу sin (cot - ip)}, pz = 0,
где t - координатное время, ip - сдвиг фазы вращения электрона
относительно электрического поля волны.
Компонента i = 0 уравнения (1) при подстановке в него приведенных выше
величин дает уравнение баланса энергии:
(3) еЕ • v = eEo^sin^ = 74.
ос
Здесь в левой части равенства присутствует мощность, получаемая
электроном от волны; правая часть в точности равна потере энергии (5.72)
на
5.5. Ответы и решения
561
излучение частицей, вращающейся по окружности с заданной частотой. В
компонентах i = 1, 2, 3 переходим к дифференцированию по координатному
времени dr = 7-1 dt и выделяем проекцию на направление ускорения частицы,
умножая обе части уравнения (1) скалярно на соответствующий орт e(t) = ех
sin(ut - (р) + еу cos(ut - (р). Это позволяет выразить импульс через
амплитуду волны и сдвиг фазы:
(4) иор = еЕо cos ср.
Последнее уравнение выражает собой баланс центробежной и электрической
сил без участия радиационной силы, так как угловое распределение
излучения симметрично относительно плоскости круговой орбиты. Наконец,
проекция уравнения (1) на ось Oz позволяет выразить продольное
электрическое поле Ez через поле волны:
Уравнения (3) и (4) позволяют вычислить зависимость сечения от амплитуды
волны и проанализировать предельные случаи. Для этого введем безразмерные
параметры [Зельдович (1975)] Ъ = еЕо/тси, к = Зс/г^ио и исключим фазу ср
из указанных уравнений:
Полученное алгебраическое уравнение определяет энергию частицы ё = = тс27
как функцию параметров 6, к. В области применимости классической
электродинамики к 1. Это неравенство нарушается только при энергиях
квантов ?ии > 137тс2 ~ 70 МэВ, т. е. в далекой квантовой области. Полное
сечение рассеяния согласно (5.119) определяется отношением излучаемой в
единицу времени энергии, которая определяется правой частью равенства
(3), к плотности потока энергии в падающей волне 70 = cE^/Aiг:
Предельные случаи: а) 7 к1/3; из (6) получаем 72 " 1 + Ъ2 и, сле-
довательно, b <С к1/3. Это - случай, когда реакция излучения в (1) играет
малую роль. Имеем из(7)
(5)
Ez = EqP sin (p.
(6)
(8)
a ~ <jt при Ъ <C 1, a (ТтЪ2 при b 1.
562
Глава 5
б) 7 к1/3; при этом 7 " (кЬ)1^ и & > к1/3. Этим неравенствам
отвечает превышение реакции излучения над внешней силой. Оценка сечения:
(9) сг"сгт|.
Наибольшего значения сечение достигает при b ~ к1/3:
/ > \2/3
(Ю) <хтах И атк2/3 " ат (j^j •
Классическая теория применима, если характерная энергия кванта составляет
малую долю от энергии электрона: ?гсос <С тс27. Под характерной энергией
следует понимать энергию квантов в максимуме излучения, т. е. при
частотах сос " ио^3 (см. формулу (8) из решения задачи 5.83, в которой
следует заменить со о -> со). Из полученных выше неравенств находим
границу, разделяющую классическую и квантовую области: Eq " е/А^, где А с
- комптоновская длина волны электрона.
5.139. Общая схема решения такая же, как в предыдущей задаче.
Уравнение (3) сохраняет свой вид, уравнение движения (4) из предыдущей
задачи превращается в
сор = ±еН/3 + еЕо cos (р,
где знак плюс относится к необыкновенной волне, для которой знаки сон = =
еН/тс и со совпадают, знак минус - к обыкновенной волне с
противоположными знаками частот. В необыкновенной волне направления
