Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
можно записать в виде d3S = dV' = 7 d3x, где d3x - элемент трехмерного
объема в системе S. Используя эти результаты, а также (4.127), (4.128),
находим
(4) i T"knk = l(T(tm)-vg) = ^-c
Е
= ^[?2-я21
Таким образом,
(5) р° = ^ j (Е2 - Н2) d3S = 7тс, откуда электромагнитная масса частицы
(6) т = -Ц [ (Е2 - Н2) d3S = [ (Е2 - Н2) d3x
8тгс2 J у ' 8тгс2 J у '
- релятивистский инвариант. Аналогичным путем находим
(7) \Taknk = ^(Е2- Н2)
и получаем правильное выражение для импульса частицы р = 7mv. Приведенное
рассмотрение позволяет вычислить инвариантную электромагнитную массу
частицы, но не дает настоящего решения проблемы: для точечной
5.5. Ответы и решения
549
частицы масса оказывается расходящейся величиной (см. (5.108)), а
внутренняя структура протяженной частицы должна описываться квантовой
механикой.
5.119.
4е
Сделанные предположения о характере движения электрона выполняются, если
потеря энергии за период г обращения по орбите мала по сравне-
dF
нию с полной энергией электрона, т. е. г
< |<?|, откуда aj > г0 =
dt
(го - классический радиус электрона). Это условие начинает нарушаться
только на очень малых расстояниях порядка 10~13 см, на которых вообще
неприменима классическая электродинамика, так как она в этой области
внутренне противоречива.
Следовательно, результат задачи - очень малое время жизни атома -
определенно указывает на неправильность классических представлений о
движении электрона в атоме (представление о траектории и т. п.). В
процессе преодоления этой и других фундаментальных трудностей
классической физики и была создана квантовая механика.
5.120. 8(t) = тс2 cth
3 тс 2 gQ - тс
При t -> оо, 8(t) -> тс , т. е. частица останавливается. Радиус орбиты
можно выразить через 8(t) по формуле
ср 1
r(t) = -^jj = -rn2c4.
При t -> оо, r(t) -> 0, т. е. частица движется по закручивающейся
спирали.
5.121. (?кр = тс2 {/где г0 =
р V 2сг° тс2
5.122. Уравнение движения гармонического осциллятора при учете силы
лучистого трения имеет вид
(1) Г + и^Г = ! •
те*
Уравнению (1) соответствует кубическое характеристическое уравнение
550
Глава 5
Условие малости силы лучистого трения по сравнению с квазиупругой силой
позволяет решить (2) последовательными приближениями, отбросив в нулевом
приближении правую часть; при этом к ~ fco = =Ьго;о- В первом
приближении, подставив в правую часть (2) вместо к значение fco и введя
обозначение
(3) 7=1---------
6 тс
'У
получим к ~ к\ = ±icuо - Можно ограничиться одним из решений, например,
тем, которому соответствует знак "-":
(4) г = гое 2 • e~lLJot (t > 0).
Это решение справедливо при 7 <С coq и имеет характер затухающих
колебаний.
Энергия осциллятора убывает как квадрат модуля его амплитуды:
(5) W = Woe-'*1.
Величину i естественно называть временем жизни возбужденного состоя-ния
осциллятора.
Напряженность электрического поля излучения пропорциональна г, так что
+оо
Е = ( Л* = ( Еое-(""+'/2" при О 0,
J { 0 при t < 0
оо
Elo = ^J е-Ь/2+гСО0)Ш^ dt = -----------Ео
о 2?г
Отсюда находим спектральное распределение интенсивности излучения: dlco
hi 1
(6)
duj 2п (jj - wo)2 + 72/4'
+oo
где /о = f dluj - полная интенсивность излучения. Спектральное распре-
- оо
деление (6) имеет характер резонансной кривой (рис. 5.14).
5.5. Ответы и решения
551
Ширина спектральной линии характеризуется величиной А со = 7.
Естественная ширина линии очень мала ^на графике длин волн она равнялась
бы АЛ = АЩу = 4^о = 1Д7 • 10-12см^.
Рис. 5.14
Если считать, что излучение происходит не непрерывно, а дискретными
порциями (это предположение, очевидно, выходит за рамки классической
электродинамики), то неопределенность энергии фотонов А8 = НАсо = fry
связана со временем жизни возбужденного состояния г = ^ соотношением
(7) AS • г = П.
Это - частный случай весьма общего квантовомеханического соотношения
неопределенности для энергии-времени.
_{со-соо у
5.123. = 10е ' 7д '
dco
/2Тсо2
----^ - допплерова ширина спектральной линии, а через /о обо-
тс
значена интенсивность при со = соо. Ширина линии зависит от температуры и
может служить мерой температуры газа.
552
Глава 5
5.124. й1ш - /Г
du 2tv о Г2 '
(ш-шо)2 + ^
+оо
где / = / <lluj.
- ОО
5.125. Если волна поляризована вдоль оси х, то
/-] \ _ cExUJ 1
(1) %L0 2 2 • '
т coq - со - гсо^
где
2 2
7 о з •
'J тс6
Энергия, поглощенная осциллирующим электроном,
+оо оо
AW = j eExmt)dt = 4fJ\Е.Л2
- оо О
так как (х)си = -icoxuj. Подынтегральная функция в последнем выражении
описывает спектральное распределение интенсивности поглощения. Из вида
этой функции следует, что мерой ширины линии поглощения является величина
7, как и в случае испускания. Так как, по условию, ширина спектрального
распределения группы велика по сравнению с естественной шириной линии 7,
то
оо
2тге21 г I2q ,2Л [
AW = Щ^\Ехи;о\22ш1у j
(2u,0?)2+^72
-СО о
где ? = со - ujq. Нижний предел можно заменить на - оо, так как 7 <С coq.
В результате интегрирования получим окончательно:
