Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
5.5. Ответы и решения
541
поле движущегося со скоростью v = const заряда, вычисленное в задачах
4.34,4.35. б) Указанные выше два поля меняются местами (рис. 5.13 б). В
тонком слое в окрестности г = ct происходит перестройка электрического
поля и имеется сингулярное переменное магнитное поле (см. предыдущую
задачу).
5.108. Используем формулу (5.77), полагая в ней v(r) =0 при г < 0,
v(t) = v = const, s(t) = vt, где скорость v определяется энергией и на-
542
Глава 5
правлением вылета бета-электрона. Получаем
dluo _ e2v2 sin2 в т _ ( 1_ i 1 + Р _ 2
с1П ~ 4тг2с3 (1-/3 cos в)2' W_7rcV/3 1-/5
Здесь в - направление излучения относительно скорости электрона.
Бесконечно осциллирующую экспоненту ехргс<;(1 - /3cos^)r|T^00 следует
считать равной нулю, так как ее усреднение по любому малому интервалу А
си спектра дает нуль.
Число квантов в расчете на единичный интервал их энергии определяется
соотношением N^TujO d(hco) = 1^ dco, т. е.
Nu) TTCh2U 1 -р 2
Число квантов растет неограниченно при со -> 0 ("инфракрасная
катастрофа"), но их суммарная энергия остается конечной. Наибольшая
энергия кванта, допускаемая законом сохранения энергии, равна энергии
бета-переходя ядра Ео за вычетом энергии покоя электрона (и энергии покоя
нейтрино, если она отлична от нуля): Нсишах = Ео - тс2.
5.109. По правилу преобразования дипольных моментов (задача 4.37)
имеем в лабораторной системе
(1) т = ^, р=\ьхц,
где /и, - магнитный момент в системе покоя электрона. Магнитный и
электрический дипольные моменты создают векторы магнитной и электрической
поляризации:
(2) М = - vt), Р = \v х fi<d(t)5(r - vt).
С помощью формул (5.41), (5.44) находим ток, созданный движущимся
электроном:
(3)
j(r, i)= jew-^/x х V - \{v x fi)(v ¦ V) j 5(r-vt)Q(t) + ^vxfj,S(t)S(r).
Первое слагаемое в фигурных скобках - ток, созданный зарядом электрона.
Далее вычисляем векторный потенциал в волновой зоне. Для этого используем
формулу (5.4), записав ее для фурье-образа,
2
11" 1+ Р
pikR
, R = r - г .
lb
5.5. Ответы и решения
543
Путем интегрирования по частям переносим производные с дельта-функции на
гладкую функцию Guj(R) и дифференцируем только экспоненту. В итоге
получим
(5) Аш(г) = -----------\ev-^nxn-mvxn)(n-v)
ICU{1 - п • V/С) { I с
Лкг y gi/er
• -1-2V Х М г •
Если считать fi обычным вектором, параллельным скорости, то vx fi = = 0.
В этой модели
d2liO _ 1 j 2 ч/ 2 I ОО2 (. ч/ ",\2
dudQ 47г2с3(1 - f3cos6)2 [ 72
d/u; _ I е2 .
е>х^ + ^хп)^, (6)
(7)
± In - 2
/3 1-/3
Второй член в круглых скобках, дающий вклад в излучение от магнитного
момента, пропорционален квадрату частоты. Подставляя /1 = /л в = eh/тес -
магнетон Бора, получаем отношение двух слагаемых (huo/2mec)2(c/v^)2. Роль
магнитного момента становится заметной при huo ~ тес2.
Надо, однако, иметь в виду, что спин электрона представляет собой
квантовое явление. Поэтому даже в классической электродинамике нужно
трактовать магнитный момент fi как оператор /2 = iib&, где Э - матричный
вектор Паули {см. Дополнение 3), и в конечном результате произвести
квантовомеханическое усреднение интенсивности излучения по спиновым
состояниям электрона. Обозначая такое усреднение угловыми скобками,
получим
(8) <[Д х tf) = /?<[? X tf) = u,2B(lv2a2 - ("7 • t;)2]} = 2{pBv)2.
Здесь использованы соотношения Э2 = Э2 = Э2 = 1, Эадр + Эрда = 28ар. Как
следует из (8), квантовомеханическое среднее не совпадает с классическим
средним, которое даст fix v = 0 при fi || v. Это объясняется тем, что
квантовый магнитный момент не имеет определенного направления в
пространстве. Аналогичным образом будем иметь ([р, х п]2) = 2fi2B. В
итоге выражения (6), (7) пополнятся членами, содержащими электрический
дипольный момент.
544
Глава 5
5.110. Если энергия, переданная электрону, значительно превышает
энергию связи электрона в атоме, то электрон до конверсионного перехода
можно считать неподвижным. В этом приближении
/V =1^^ и 37г he hw'
5.111.
(1)
4 ( owо 3 V с
w2(w2 + cjg)
2\2
hw
mec2
hw'
Для сравнения полученного результата с опытными данными Джексон (1975)
отождествляет w$ с частотой перехода 2р -> Is (так как вращение по
круговой орбите возможно только при ненулевом орбитальном моменте) и
пользуется соотношениями для водородоподобного атома: расстояние между
уровнями Hloq = 3Z2e2/8ав, а = ав/Z, ав = h2/mee2. Кроме того, он вводит
поправочный фактор, учитывающий уменьшение энергии нейтрино с ростом
энергии испущенного кванта: (1 - hw/Eo)2, где Eq - энергия ядерного
перехода (равная энергии нейтрино при hw = 0. Последний фактор существен
только для жестких квантов, испускание которых возможно за счет
магнитного момента (второе слагаемое в (1)). В итоге рабочая формула
принимает вид
wN"=?z2(e?
со2 (со2
Я)
(w2-w2)
2\2
hw
1 е
hw
2тг he (mec2)2
-1 hw Ео
5.112. hwr,
17 МэВ.
1 е2
hw
37Г he hw 2тг he (rn^e2)2
5.113.
d2l
w
2e2 T-
7r2c m^cf
- sm
Nu> =
16 e
T_
37Г he m7re2hw '
где T_ = m^v2/2 - кинетическая энергия отрицательного пиона, 0 - угол
