Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
(4 - Зп2 - п2). dft 32m с 5 V * ^
В ультрарелятивистском случае /3 " 1 и
dAWVi 3е4е2(1-/3)
бЮ 0Q 2 4 3-4'$
2vmzc s sin
При $ ^ д/1 - /3 последняя формула несправедлива, и нужно пользоваться
точным выражением (1).
5.99. Д1У = neje} ¦ Ар =
12m csv 1 - /З2
^ jqq dAWuj _ 8eie2o; с
dio 3ttv4
кф)+кф)\
5.101. Формулу (5.81) для дифференциального эффективного излучения можно
записать в виде:
оо оо .
(1> Ж = 2'/ f§idt'd'-
0 -оо
Интенсивность излучения Н2г2, где Н = [А х п. В форму-
ле (1) усреднение интенсивности излучения должно быть произведено по всем
направлениям в плоскости, перпендикулярной к направлению потока падающих
частиц. Для выполнения усреднения удобно представить векторное
произведение, входящее в выражение Н, в форме На =
5.5. Ответы и решения
537
где еар1 - антисимметричный единичный псевдотензор, по повторяющимся
индексам выполняется суммирование. Компоненты векторного потенциала Ар
выражаются через компоненты квадрупольного момента Qpe.
Таким образом,
Воспользуемся полярной системой координат с полярной осью направленной
вдоль падающего потока и с полюсом в точке, где находится частица с
зарядом б2 и массой m2. Усреднение должно выполняться при фиксированном
значении составляющей nz = 713 = cos д (д - направление излучения). Легко
убедиться, что
и
dl _ 1
Q(3sQ(3's'•
dft 167ГС5
Кщ= щпкщ = О,
где индексы i, к, I принимают значения 1,2. Воспользовавшись (2), а также
формулой
?a(3'~f&a(3/'~f/ - S(3(3'S'-f'-f' Sp^'S^p'
получим
(3)
+ \ ~ 3Q/33 + 6Q33 - 2Q33 Qpp'j sin2cos2 $+
+ ^ ^Q(3(3' ~ (^/з/з) - ^(Эзз + 2Q33Qpp sin4$j.
538
Глава 5
Подставляя (3) в (1), найдем окончательно:
(4)
dnn
= А + BP2(costf) + CP4(cost9),
где Р>, Р\ - полиномы Лежандра,
(5)
А =
120 с1
В =
ы /
- оо 0
оо ОС
bJJ
3Q(3(3' - (QppY
s ds dt,
C =
168c 1
280c5
~^Q(3(3' + 2(Q/3/?)2 + 9Q/33 - б^ззС/з/з
s ds dt,
-oo 0
oo oo
• •2
-2Qpp, + 2Q/33 - (Q/3/3) -
-oo 0
...2
- 35Q33 + 10Q
33
s ds dt.
5.102. Полное эффективное излучение
dtvn
к =
/
dd.
Используя формулы (4) и (5), полученные в предыдущей задаче, можно
написать
(1)
к = 4тгА =
30с5
оо оо
J J 3Qa0 ~ Qp/3
s ds dt.
- оо 0
Обозначим через ха декартовы компоненты относительного радиуса-вектора
частиц, а через va = ха - декартовы компоненты относительной скорости
частиц. Тогда, учитывая уравнение относительного движения частиц, найдем
ха =
2е2хп
хп =
2е2 rxa - 3xavr
т
где
vr = г.
5.5. Ответы и решения
539
Подставляя эти выражения в формулу (1) и вводя азимутальную компоненту
относительной скорости частиц va (у2 = г>2 + v2), получим:
оо оо
2 I 11. ,2
v +И"а л л,
--------sds at.
- оо О
Вследствие сохранения энергии и момента импульса, и = и va = Выполняя в
(2) интегрирование (при этом следует заменить интегрирование по dt
интегрированием по dr, согласно формуле dt = ^ =
- dr , причем интегрировать можно в любом порядке), получим окон-
л/v2 - v\ чательно:
4тг
К = ~0---------5
У шго
5.103. Условие (5.88) выполняется при всех частотах со, так как время
столкновения г = 0. При рассеивании на твердой сфере угол падения равен
углу отражения, поэтому \v2 - vi\2 = 2vsin-, где - угол рассеяния. Угол $
связан с прицельным расстоянием s соотношением: s = a sin ^
df^uo = -^Ц-4?;2 [ sin2 ^ 2тгsds duo = а v duo.
Зтгс3 J 2 Зс3
о
Найденное дифференциальное эффективное излучение не зависит от частоты.
Поэтому полное эффективное излучение
оо
/¦
к = / dhicj = оо.
о
Эта расходимость объясняется тем что сфера считалась абсолютно твердой.
На самом деле абсолютно твердых тел не существует, т^Ои при больших
значениях со найденное для dn^j выражение незаконно.
К тому же при расчете не учитывалось уменьшение энергии частиц за счет
излучения. Фактически излученная энергия не может превысить начальной
кинетической энергии частицы.
540
Глава 5
Сечение генерации фотонов получается путем деления эффективного излучения
dnuj /duo на энергию фотона Нио и еще на h (чтобы отнести его к интервалу
энергий):
Результаты как нельзя лучше иллюстрируют конечность скорости
распространения электромагнитных возмущений. При внезапном изменении ди-
польного момента распространяется сферическая волна бесконечно малой
толщины с радиусом ct. Магнитное поле отлично от нуля (и сингулярно)
только на этой сфере. Электрическое поле на световой сфере также
сингулярно и связано с магнитным обычным соотношением (5.18) для волновой
зоны. Но, в отличие от магнитного, существует и статическое электрическое
поле. В области г > ct, куда не дошло возмущение, сохраняется статическое
электрическое поле диполя с моментом р1. В области г < ct установилось
статическое поле диполя с моментом р2.
5.104.
5.105.
1п 3е\е\с3 imi то2
64ё4п2 ( е1 е2
(
2 г 2
) Х2М + -^г4(и?) •
5.106.
z(r,t) = ^-0(т)+ у^&(-т), T = t -
' г 3(п(р1 • п) - рх), г < 0;
E(r, t) = < Н х п. т = 0,
" г~3(п(р2 ¦ п) -р2), т> 0.
5.107. а) При г > ct - статическое электрическое поле точечного
заряда с радиальными силовыми линиями (рис. 5.13а). При г < ct -
