Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
-*11 ~ о 1 22 " о ? 33
За 5а 70а2
т. е. добавление каждого электрона увеличивает мультипольность излучения
и добавляет малый множитель /З2.
В противоположном, сильно релятивистском случае надо воспользоваться
результатами задач 5.83, 5.84, заменив и -> пиоо, In = ooodlm/duo. При п
= N (т. е. к = 1) будем иметь
оо
SK^(x)dx'
LNN
где xn = 27V/373. В предельных случаях имеем
31/6Г(2/3) в^^7/3; дг< з7з/2;
^Ws/2 (Ж), n " з7з/2.
л/2тг а 7 7 V З7 /
Сравнивая эти результаты со случаем беспорядочного расположения
электронов на орбите, приходим к выводу, что при N " 73 фактор
когерентного усиления излучения имеет порядок величины 72.
5.92. Если электроны образуют сгусток, представим фактор когерентности в
виде
AT Г N ' N '
5дг = TV + ^ < cosm/^ cosтьфг/ + sinsin z=i [ z'=i г=i
где штрих у суммы означает отсутствие члена с V = I. При симметричном
распределении электронов в сгустке относительно нулевого азимута среднее
от синуса равно нулю, и фактор когерентности преобразуется в
Sn = N + N(N - 1) (cos пф) " TV + TV2 (cos ш/?) ,
где первое слагаемое соответствует некогерентному излучению, а второе
когерентному. Производя усреднение, будем иметь
sin2 (п (f/2)
InN = NIn + 7V^/n х ^ (mp/2)2
exp (-(mp)2/2) .
5.5. Ответы и решения
533
Здесь верхняя строка соответствует равномерному, а нижняя - гауссову
распределению электронов в сгустке. 1п - интенсивность излучения одного
электрона.
5.93.
?rad 2V2(j2 f (dU\ dr
Зтоз/2сэ J у dr ) v/g _ JJ(r) '
где U(rmin) = s.
5.94.
?rad 16<7
45Ze
GO'-
5.95. Выберем начало координат в центре инерции системы зарядов. Тогда
электрический дипольный момент системы
(1) Р = е1г1+е2г2 = ц(щ-щ)г,
17111712
ГДе Г = П - Г2, II = ----:----•
^ Ш1+Ш2
Поскольку отношения е/т зарядов различны, то р / 0 и система будет
излучать в основном как электрический диполь <С 1). Мгновенная
интенсивность
Согласно уравнению движения зарядов, fir = в1в2Г, так что / =
При вычислении средней по времени интенсив-
_ 2в!в2 /_е^_ _ в2 \ 1
Зс3 V771! га2' г4
ности излучения I = - JI dt' заменим интегрирование по t' интегрирова-
т
о
цг2 da
нием по углу а согласно уравнению dt' = --- (К - момент импульса
К
системы) и воспользуемся уравнением траектории. В результате получим:
534
Глава 5
5.96.
(IK
dt
7 3 3
22^2 |^| 2 / ei
3c
7711
в2
m2
К
К3'
5.97. Поступая так же, как при решении задачи 5.95, запишем вторую
производную дипольного момента в виде:
(1)
V =
ei
тпл
е2 \ е1 е2г т2/
Вычисление А не вызывает затруднений. Для вычисления В нужно знать pz -
проекцию р на направление первоначального движения рассеиваемых частиц -
в виде функции координат г, а (полярные координаты в плоскости
относительного движения частиц). При этом следует учитывать, что в
уравнении траектории относительного движения - 1 + ? cos су = а(е2 -
1)/г, угол а отсчитывается от оси симметрии (ось zf) траектории. Таким
образом, у' = г sin a, z' =
= т cos а. Угол между осями z и z' равен тг - ао (cosao = ^),
му Z = -Zf COSC^o - у' sinc^o = -г cosa + и заметив, что sin а - нечетная
функция, получим:
оо +оо
ПОЭТО-
------sma
У Используя (1)
II
О -оо
ftz dtsds = efe^
2^2 I 11±_
Till
62
ТП2
2 oo +oo
л л cos a -\- (e - 1) sin a
II
0 -oo
e2rA
dt s ds.
С помощью уравнения траектории выразим cos2 а и sin а через гиг
2
и сделаем подстановку ?2 = u, sds = du. После этого выписанный интеграл
преобразуется к виду:
(L-i)2 оо V а )
1 / dr
'о J г3
I
а2
----2й
г
+ (4\-2^ + l) +
\ 7* у* /
+ 6а _ 2\1 + 2fa _ A2 J_
г г / и \г / и
du
1-1) -и
При вычислении интеграла по du возникает логарифмический член, который
преобразуется интегрированием по частям. Для вычисления внешнего
5.5. Ответы и решения
535
интеграла по dr целесообразно сделать подстановку х = которая при-
г
1
водит этот интеграл к сумме нескольких 5-функций: В(к, I) = J Х(1 -
' Г(1- + |)
Окончательно получаем:
А = тв = °-
5.98. В рассматриваемом приближении v = const, а траектория частицы
представляет собой прямую. Пусть движение частицы происходит в плоскости
xz параллельно оси г. В этих координатах
п = пу, nz)i где = sin^cosa, пу = sin д sin a,
= cos$, г = (s, О, Ы'), г = д/з2 -Ь г>2?/2, v = (0, 0, г;).
с2 ^ 2
Из известной формулы v = , где <? = тс , (3 = |, получим г? =
2 • 2 я @
с р с рЬ ~ . е\в2Г п
= ------------. Согласно уравнению движения частицы, р = --. Закон
(c) ё г6
сохранения энергии требует, чтобы § + = const. Дифференцируя по-
следнее равенство по получим:
? _ е\е2г _ е\е2г • у
так что
eiе2с2 V _ ?
р(г • v)
г -
?
ei^3C [sex + vt'(l - f32)ez\.
Подставив найденные выражения в (5.60), получим:
d?l 47rc3(f2(l - f3nz)5
s2 [(1 - (3nz)2 - n2 (1 - /32)] x
dAWn _ ele2C J 2 Г/-1 /Q \2 2/1 /o2
oo
dt' +c2p2{1_p2)2{1_nz)2 f t'2dt'
J (s2jrv2t'2) J (S2jrV2t,2Y
- oo -oo
536
Глава 5
Интегрирование дает:
, ч dAWrt efе|(1 - (З2) г 99^
(!) -- =-----------9 о о ,----- -гг [4 - 3пх - nz - 6f3nz+
dCl 32т с3s3v(l - f3nz)b
+ Р2(-2 + 3п2 + 5п2) + /34(1 - п2)\. В нерелятивистском пределе /3 -> 0 и
