Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
перпендикулярна плоскости орбиты, направление к характеризуется полярными
углами $, Ro - расстояние от центра орбиты до точки наблюдения. Отсюда
(2)
. /Зепе .
г------ ctg v Jn (пр sm v),
aRo
_ _ ep2neikRo T,
тЭ - ^ ^ 71 Ana - Jn\Tip SlliV).
Поляризация излучения оказывается, вообще говоря, эллиптической, с
главными осями в направлениях еа и е$ и отношением полуосей Нп$
и Нпа, равным (3 tg $
. Направление обхода эллипса определяет-
ся знаком этого отношения. При $ = 0 поляризация круговая, при $ = ^ -
линейная. При достаточно больших п и (3 линейная поляризация получается
также в тех направлениях, которым соответствуют нули или полюсы
j'
функции ~y~.
Jn
5.80. Наличие высших гармоник в спектре поля объясняется тем, что время
распространения поля между равными точками орбиты конечно и сравнимо,
вообще говоря, с периодом обращения заряда по орбите, если скорость
заряда сравнима со скоростью света с. Вследствие этого, время прохождения
через точку наблюдения поля, излучаемого частицей в течение полупериода,
когда частица приближалась к этой точке, меньше, чем время прохождения
через нее поля, излученного в течение второго полупериода. Простой
гармонической зависимости координат частицы от времени соответствует,
следовательно, некоторая сложная периодическая зависимость поля от
времени, изображаемая суперпозицией ряда гармоник Фурье.
5.5. Ответы и решения
523
Следует ожидать, что при /? -" 0 высшие гармоники исчезнут.
Действительно, при х " 0, п > 0 имеем (см. приложение 3): Jn(x) " -,
п- 1 Л п.
J'n{x) ~ ----jjy. Из этих формул видно, что, когда /? -> О, существенны
лишь гармоники с наименьшим возможным значением \п\ = 1. При этом (ср. с
ответом к задаче 5.21):
е/52 cos^sin(fci?0)
ft tt - -L-L \OL + ^ 1 tt ---• ---------^------- ,
a Rq
_ e/32 cos(^o)
- -oil? + -O-li? - ---- • ---n----•
a /to
5.81.
= ^\Hn\2Rl = СП2^а2 [ctg2 $Jn(n(3 sin ¦&) +/32J'n2(n/3 sin #)].
Если движение по окружности происходит под действием постоянного
однородного магнитного поля //, то
тс2Р
а =
спе2/3
J-n =
а2
еНу/1 - (З2
2 п(3
2/52^2п(2п/5) - (! - /52) J J2n(x)da
о
5.82. Суммирование гармоник приводит к угловому распределению излучения
dl/dQ, усредненному по времени и вычисленному ранее другим способом (см.
задачу 5.78). В сильно релятивистском случае (7 1) возни-
кает резкая анизотропия излучения, которое концентрируется в плоскости
орбиты: отношение
(d//d?})$=7r/2 7 5
(di/dti)#=0 8
Введя угол 0 = 7г/2 - $ <С 1 между направлением наблюдения и плоскостью
орбиты, запишем угловое распределение в виде
dl _ е4Я273(7 + 12726>2) dQ 1б7гт2с3(1 + 72#2)7/2
524
Глава 5
5.83. Используем формулу (5.77), выбрав систему координат так, чтобы
орбита частицы располагалась в плоскости ху, а луч зрения - в плоскости
xz (рис. 5.3). Частица при г = 0 находится в начале координат. Имеем
s(r) = expsm(vr / а) - ey[cos (ут/а) - 1], v(t) = s(t) = exv cos(vt/a) +
eyvsin(ут/а),
где a = ср/eH - ларморов радиус (см. раздел 4.2). С самого начала
учитываем релятивистский эффект излучения вперед, в пределах угла Oq ~ 7-
1 ^ 1> и оставляем степени угла 0 между лучом зрения п и осью Ох не выше
второй. В этом приближении имеем
п х v(r) = e^vO cos (vr/a) + sin (vr/a),
W i / \ Loa (\ 62\ • / / \
lot - к - s(t) = lot-- II -- I sm(ут/а).
Здесь e^1) = ey, e^ = n x ey, n - образуют тройку взаимно
перпендикулярных единичных векторов.
Поскольку диаграмма направленности излучения очень узкая, волновой пакет,
излучаемый в направлении п, собирается с малой дуги окружности порядка
а/7, проходимой частицей за время Ат ~ a/v7. По этой причине основной
вклад в интегралы по времени дают времена порядка Аг, и можно произвести
разложение тригонометрических функций в равенствах (1) в ряд. В
предэкспоненте достаточно учесть первые неисчезающие члены, но в
показателе экспоненты следует учесть в разложении синуса и кубический
член. Кроме того, нужно провести разложение по 7-2 " 1. После указанных
разложений интегралы по времени сводятся к интегралам, указанным в
условии задачи, путем замены переменных
и -="(7-3:^ "=g<7-+^.
В итоге получим из (5.77) спектрально-угловое распределение излучения:
d2I!,, р2
<3> <^2+*3>2
Найденная величина представляет собой спектральную плотность излучения
частицы с малого элемента траектории, на котором формируется импульс
излучения в заданном направлении п. Она имеет размерность энергиях время.
Более удобной измеряемой величиной является спектральная мощность
излучения, усредненного по времени, которая получается
5.5. Ответы и решения
525
путем деления найденной спектральной плотности на период Т обращения
частицы по окружности (т. е. на время между короткими вспышками, которые
видит наблюдатель):
= 2тг = 2тг7 = 2тгшс7 U П еН
(см. задачу 4.52. Период Т записан здесь через использованные в указанной
задаче угловые скорости сон = еН/me и ^ = сон/f- Первая из них
обозначалась там через сос и называлась циклотронной частотой.) Таким
