Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
СГ
доминируют последние члены в Е и Н, убывающие по закону 1/г. Эти члены
описывают поле излучения и имеют вид:
епх (nxv) ev хп
2 2 '
С Г С Г
где n=j.
Положение границы квазистационарной и волновой зон определяется условием
е/г,2
гр
е|г>|/с2Ггр
откуда
~ (<t
Ггр ~ а ( 2
\VZ
2
если учесть, что |г>| ~ ^-, где а - величина порядка размера той области,
в которой происходит движение заряда.
5.69. = ~^(v х п)2, I = ^v2, где n = f.
dn 47гс Зс3 г
5.70. Энергия, излученная зарядом в течение промежутка времени dt',
заключена между двумя сферами. Первая из этих сфер имеет центр в точке О,
где заряд находился в момент t', вторая - в точке О', где он находился
518
Глава 5
в момент t' + dt' (рис. 5.9). Радиус первой сферы R, радиус второй R + с
dt'. Рассмотрим элемент объема dV = dS dR = R2 dQ(c - n • v)dt'. В этом
cF2 /
объеме заключена электромагнитная энергия dW = dV = (1 -
- п 'v\r2 dQ dt'. Отсюда для скорости потери энергии -d_8_ _ d W J
dt dQ, dt dQ,
получим значение (5.67).
5.72. Чисто продольное ускорение реализуется при Е || Н = 0. При этом
_ (dS\ = 2еАЕ2 \dt') у Зш2с3
не зависит от самой энергии. Если Е = 0, Н ^ 0, то ускорение
перпендикулярно скорости и
_(<Ш\ =2еУя?
\dt') ± Зш2с5 При одинаковых напряженностях поля (Е = Н) отношение
=7 ?
велико для ультрарелятивистской частицы. Это показывает, что при
произвольном ультрарелятивистском движении частицы главную роль играет ее
излучение за счет поперечной составляющей силы.
5.5. Ответы и решения
519
5.73.
dl(t)
= ~^e2r2 =
2-2 • 2 о
е v sin v
dQ 4тг 47гс3(1 - /3cos $)6 '
где д - угол между направлением скорости v и направлением излучения п, [3
= v/c. Угловая диаграмма излучения приведена на рис. 5.10. Когда скорость
v частицы мала, излучение вперед и назад имеет одинаковую интенсивность.
Когда v сравнимо с с, преобладает излучение вперед тем в большей степени,
чем ближе v к с. Максимум излучения наблюдается в направлении i9q,
определяемом уравнением
costf° = iL(v/l + 24/?2-1).
При (3 ^ 0 ^ тг/2; при /3 -> 1 ^ 0. Таким образом, в уль-
трарелятивистском пределе излучение происходит в основном под малыми
углами к направлению скорости частицы. Полагая д <С 1, представим в виде
<П_
dfl
2тгс3
6'
Из этой формулы видно, что ультрарелятивистская частица излучает
2
главным образом внутри конуса с углом раствора ф = ^-.
е>
Полная интенсивность излучения:
2e2v2 1 + Z^2/5
Полная скорость потери энергии:
_d? 2е2
dt'
Зс3 (1 - /З2)4
Зс3 (1-/32)3'
5.74. Полное тормозное излучение в направлении dfl за все время пролета
частицы:
dAW
dQ
/
Mdt =
dQ
di dQ dt'
dt' =
e2yo sin2 $
167Г c3r costf
1
-1
520
Глава 5
где д - угол между направлением скорости частицы и направлением излучения
п.
Наблюдаемая длительность импульса зависит от угла $ между скоростью
частицы и направлением излучения:
5.75. =
dt'
At = т
2е4ЯУ
3 ж4 с5
Л тт2г
1 - тр cos $
2 с
5.76. -^Щ- = 2е Я sin 6> ^ ^ ^ ^ /]_ _ ^2 /с2 неподвижный
на-
dt' Зш с(1 - /3 ) V 7
блюдатель, находящийся далеко от электрона, зарегистрирует отдельные
импульсы излучения, испущенные в те моменты времени, когда скорость
электрона направлена на наблюдателя (в пределах конуса с углом раствора ф
" д/l - v2/с2, см. задачу 5.73). Время между импульсами (рис. 5.11)
т = Т 1-
V\\ cos в
где Т = 27г8/есН - период циклотронного вращения, 8 - энергия частицы,
v\\ = vcosO - проекция скорости на направление поля. Таким образом,
вследствие поступательного движения электрона со скоростью v\\ излучение,
испускаемое за время Т, пройдет через неподвижную сферу за время т.
Отсюда
j = _d8T =
2е Я2
dt' т Зга2с(1 - v2/с2)
При в ^ ф <С 1 будем иметь
2 е4Я2
I =
Зтп с[ 1 - %
02
я2
- 7- е2|"|2 _ (1 ~/?cos^)2 - (1 - /З2) sin2 tf cos2 а
^
47ГС3 (1 - /3cos$)6 ' с
5.5. Ответы и решения
521
Полярная ось направлена вдоль скорости, азимут а отсчитывается от
направления ускорения. Угловое распределение излучения приведено на рис.
5.12. Излучения не происходит в направлениях, определяемых уравнением 7^1
- | cosi^j = sin$| cosa|. В частности, при а = 0, 7г (рис. 5.12 а),
излучения нет в направлении $ = arccos ^. При "=|, (рис. 5.12 6),
интенсивность излучения отлична от 0 при всех д.
<С 1
\ С
V ! _
V' /
_________б)
5.78.
Рис. 5.12
dJ_
dQ
dg
е4Н2р2
г(1 - /32)х
d?l dt' 87г 2т2с3
2тт
f (1 - (3 ) cos д + (j3 - sin д cos a)
da =
о
(1 - (3 sin $ cos a)5 cAh2/32(1 - (32) i + cos2^- j/?2(l+ 3/32)sin4f?
87ГШ2С3
(1 - /32 sin2 $)7/2
где (3 = |.
Начало отсчета азимутального угла а, входящего в подынтегральное
выражение, выбрано так, чтобы направление вектора п характеризовалось
полярными углами $, В ультрарелятивистском случае v ~ с излучение
сосредоточивается вблизи плоскости орбиты в интервале углов " д/l - (З2.
522
Глава 5
5.79.
(i)
А-П(Х -----
ef3elkR°
2тгД0
ef3elkR°
2ttRo
2ir
COST? J cos a'e^na'~nl3sin§sina"> da',
2n
J sin a'ei{na'-n!}s{ni>s{na"^da',
где волновой вектор к = п^, начало координат - в центре орбиты, ось z
