Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
H*(r0,t) = -Ea = ^-^-e
cz Го
Путем аналогичных вычислений с использованием формулы Jn-i(x) + + Jn+l(x)
= ^rJn(x), ПОЛУЧИМ
27поап^ое^кг° Ut п Jn(ka sin $)
На (го ,t) = Е$ = -------------------------------------------------------
----------cos па
С2, Г о
ка tgd
5.56. Вводим электрический вектор Герца согласно (5.43) и вычисляем
магнитное поле по формуле, приведенной в задаче 5.47:
Н = го. 1= rot i f Р{Г'• * - R/C) dV' =
с at с J R
1/2
= rot^^ J sin[fcm(? + 1/2)] cosu)m(t - R/c) exp[-7(t - r/c)] d?.
-1/2
Пользуясь рисунком 5.6, находим R " г о - ? cos д ~ г о, так как в
плоскости симметрии д = тг/2. При вычислении интеграла по d? отличный от
нуля результат получается только для нечетных т. После вычисления ротора
и интеграла Фурье получим для нечетных значений т компоненту Фурье
магнитного поля
J0[u^+7(^-7)] Ш}гп/с
-Ни) - -тг.-r~z------ -------T?rino х ez\e
r0c2km[u2m + (iw - 7) ]
514
Глава 5
и спектральную плотность излучения в плоскости симметрии д = тг/2:
Jq2[(u4,-72)2 + 72^2] du dfl 47\2 сио2ш[(и2ш со2 -\- 72)2 + 4^у2о^2]
При т четном спектральная плотность излучения в плоскости симметрии
обращается в нуль. При 72 <С со^ спектр излучения имеет типичную
резонансную форму с острым максимумом на частоте оо2 = со2Ш + 72.
5.57. Магнитное поле создается N источниками. Вычисляя его через вектор
Герца, как в предыдущей задаче, будем иметь
H(r0, t) = -Де|гта° х ^J°km еХр[iwm(t - R/c)}-
N-l Ч"} Л
• exp[zg/t:mQsin^cos(^] / sin[?;m(? + 1/2)] ex.p[ikmt; cos$} dt; >.
5=0 -1/2 J
Интеграл берется без затруднений, а сумма вычисляется по формуле для
геометрической прогрессии. Интенсивность излучения, усредненная по
времени, вычисляется по формуле
dj crQ 2 J? sin2[(7V/2)A:masin^cos(^] fcos2[(m7r/2) cos^],l dQ 8?r
27rcsin2$ sin2[(l/2)A:masin$coscp\ [sin2[(ra7r/2) cos$], J
где верхнее значение в фигурных скобках относится к т нечетному, а нижнее
- к т четному.
5 di _ 2il sin2 [ктЬ sin $ cos ф\ f cos2[(ra7r/2) cos$], 1 dft 2тгскт
sin4 $ cos2 ф\ у sin2[(ra7r/2) cos$], J
где верхнее значение в фигурных скобках относится к га нечетному, а
нижнее - к га четному.
5.59. Так как j = pv = р^, то (jx, jy, jz) -> (~jx, -jy, jz), при
этом отраженные токи вычисляются в отраженных точках: jx(r) = -j'x(r') и
т.д.
5.5. Ответы и решения
515
Аналогично, используя обычные определения и формулы (5.1), (5.2),
записанные в декартовых координатах, получим:
{Рхч Ру, Pz) > {~Рхч ~Pyi Pz)ч {Qxi Qyi Qz) > {~Qxi ~Qyi -Qz), К, Vft'z)
> ^z)i (Ex-, Ey, Ez) > ( Ex, Ey, Ez),
(Hx, Ну, Hz) (HX1 Ну, -Hz).
5.60. Граничные условия Hn = 0 и Ет = 0 на поверхности (z = 0) проводника
выполняются - это прямо следует из результатов задачи 5.59. В частном
случае электрического дипольного осциллятора электромагнитное поле в
полупространстве z > 0 совпадает с полем электрического дипольного
осциллятора с моментом р = 2ezf(t) sin^o- Оно обращается в нуль при сро =
0 (диполь параллелен плоскости) и максимально при у>о = | (диполь
перпендикулярен плоскости). Полная энергия, излучаемая в последнем случае
в полупространство z > 0, вчетверо превышает энергию излучения такого же
осциллятора, находящегося вдали от проводящей плоскости.
5.61.
и3р0а ,
= На = --- cos 2г; cos a cos cot ,
2 c6r
id3 Pod . ,
Ea = =------ - cos v sm a cos cot ,
2 c6r
~dl Poa2U)6 2 2 2 q • 2
-- = -----------cos 2?/cos a + cos v sm a).
dn 32ТГС6 v '
5.62. 6) Hr = 0, Щ = Ha=ikp
sm v da dv
Er - k2ur +
5.64.
d2(ru) dr2 '
1 d2(ru) * r dr di9
En =
I d2(ru) r siri^ dr da '
Po e
ikR
hf\kb) dT
d[rji(kr)\
516
Глава 5
Поля Е и Н выражаются отсюда по формулам, полученным в задаче 5.62. Для
нахождения углового распределения излучения нужно воспользоваться
асимптотическим выражением сферических функций Ханкеля (см. (1.173)). При
этом получится:
Еа = Нт) = О,
где
m =
, a"hArhi1)(kr)1 hW(hbArji(kr)\
p0P^2l + lJl{kb)-----------to-------{кЬ)---------------
dr
d[rh[1\kr)\
dr
§i = rJH^2 = tJF^2-
dPi( cosfi)
W 5
5.66.
n=0 n=0
^ *)=e где n=|r - r'i'%=|r - r"w|-
71 = 0
Все величины в правых частях этих равенств берутся в тот же момент
времени, что и в левых. Запаздывающее взаимодействие формально сводится к
мгновенному. Полученными разложениями можно пользоваться при достаточно
медленном (v <С с) и плавном (ограничены ускорение и его производные всех
порядков) движении для не слишком больших Rq.
5.5. Ответы и решения
517
5.67. См. ответ к задаче 4.34.
5.68. При малых v/c формулы (5.56), (5.58) принимают вид:
E=er , ner(r-v) ev | er х (г х v)
Ч 4 9 9 4
Г СГ СГ С Г
t'=t- -
t'=t- -
Здесь г - расстояние от какой-либо точки области, в которой происходит
движение заряда, до точки наблюдения.
Первые три члена в выражении Е и первый член в Н пропорциональны 1 /г2 и
преобладают на сравнительно малых расстояниях от заряда (в ква-
зистационарной зоне). Электрическое поле в этой зоне сводится в основном
к кулонову полю Е = магнитное поле описывается формулой Био-Са-
г
вара Н = ev х г. На больших расстояниях от заряда (в волновой зоне)
