Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
1.3. При фиксированном конечном г' решение уравнения (5) должно быть
ограничено при г -> 0 и описывать расходящуюся сферическую волну при г ->
оо. Для удовлетворения этим условиям ищем решение в форме
(6)
/г О, г') =
Bji(kr), г < г'; Chj1\kr), г > г', ,(i)
где сферические функции Бесселя ji и Ханкеля h\ обладают нужными
асимптотиками.
Коэффициенты В, С нужно находить из граничных условий при г = г'.
Очевидно, что сама функция //(г, г') должна быть непрерывна при г = г',
fi (г, r')|r=r/+o - fi(r, r')\r=rf-o - в противном случае уравнение (5)
нарушится. Условие на первую производную можно получить, проинтегрировав
обе части (5) по малому интервалу [г' - б, г' + е] и перейдя к пределу б
-> 0. Это даст (с учетом непрерывности и конечности /Дг, г'))
(8)
dr
г=г/+0
dr
r=r' - 0
47Г '2 '
С помощью (6)-(8), использовав также значение определителя Вронского для
сферических функций Бесселя
hf\z)) = ji(z)h\1] (z) - hf\z)j[(z) = \
5.5. Ответы и решения
501
получим
(9)
fi (г, г') = Airik -
ji(kr)h^\kr'), г < г';
ji{kr')h^\kr), г > г'.
Эту функцию и следует подставлять в разложение (4).
5.13.
Аш(г) = QlmYlm(fi, а), <рш(г) = "),
где
<3гт = 47Г{-i)l+2 J3uj{ra')ji(kr')Y?m{d', ot)r'2 dr' dQ!,
Q'lm = 4:ir{-i)l+2 J p(r', tf', a,)ji(kr')Yl*m{dr, a')r'2 dr' dQ,'\
Qlm ~f * Qim '
5.16.
t ^ q , p(0-r , Я^')хах0 (fi(r, t) = --\-------^-1-----------^-, -E(r,
i) = -Vy>(r, i).
A(r, i) = pg) +""(*')*" н(г,,) = ТхД=Е^ + ^*^-т.
Электрическое поле выражается статическими формулами с зависящими от
времени дипольным и квадрупольным моментами. Магнитное поле содержит
дополнительный член, обязанный закону Био - Савара: если элементарный
дипольp(t) = e(t)l, то Нbs = pxn/cr2 = J(t)[1хг]/сг3 представляет собой
поле элементарного тока J(t) = q(t), текущего в отрезке I.
5.18. В сферических координатах с полярной осью вдоль р0 имеем
Ег = cos д Г
- cos (кг - cot) + к sin (кг - cot)
- - к2 ) cos (кг - uot) + - sin(A:r - uot)
77 рок2 .
Н(У =---------- sm v
cos(кг - ut) - -^- sin(kr -cot) кг
En = Hr = Hr) = 0.
502
Глава 5
5.19. Магнитные силовые линии имеют вид окружностей, плоскости которых
нормальны к оси г, а центры лежат на этой оси: Электрические силовые
линии описываются следующими уравнениями.
С1 = sin2 г?
1
¦ cos (кг - cot) + к sin (кг - cot) , С2 = а,
где Ci, С2 - постоянные.
5.20. Плотность потока момента импульса:
(п х р)(п • р)
*Н =
2тг (?г2
При вычислении величины - - = f *Hr2 dQ полезно воспользоваться фор-мулой
щщ: = ^Sik (см. гл. I).
В результате получим:
dL(t) dt
5.21.
н=1. ЭгоtZ = ea c at
¦ со
CO
cr cr
+ ec
-5- + ) cos$
err cr
E = rot rot Z = ea ,2
er\ )2sini?+
cr r
CO
9 9 4
С Г СГ Г
i ~ - -- ] cos *0 -\- Gq, ( i
(М з| СО '1 ^
2 2 з /
С Г СГ г /.
oi(kr-C0t-\-a)
Di(/er-COt-\-a)
В волновой зоне г А = выражения Е и Н упрощаются:
Я = еа^(е^ costf+ геа)ег(^-^+а) = Н х п. с2 г
5.5. Ответы и решения
503
При излучении в верхнюю полусферу (cos д > 0) получается левая
эллиптическая поляризация, в частности, при д = 0 - левая круговая
поляризация. При излучении в нижнюю полусферу (cos$ < 0) - правая
эллиптическая поляризация, переходящая в круговую при $ = 7г. Волны,
излучаемые в экваториальной плоскости, имеют линейную поляризацию.
Угловое распределение и полная интенсивность излучения:
f=7-nr2 = ^Y(l + cos^), 7=2-W dn 8тгс3 V ' Зс3
Рассмотренный случай осуществляется, например, при движении заряда в
однородном магнитном поле.
5.22. 1 = U§ R4lo4 / 48с3.
17Л," \2,.,4/о11"3
5.23. I = 217(еав) Шо/З с •
dl _ "q/""_2 "q , i /о\ 7_ H2g2aV
5.24. sin2 tf(cos2 0 + 1/2), J =
7rc5 15c5
g 2g _ 2e4?lg w2 + a2
du Зттт2с3 [(a; + too)2 + a2][(a; - ct>o)2 + a2]
5.26. fe = 2^(p§ + ^)e-"*),/2.
Критерий применимости: размер системы I <С ст.
- Q2 f2/ ?4
5.27. 7 = ° , S = аЬ.
Зс5
5 28 = 2?гS2t2u>a с~2Шт
du Зс5
Критерий применимости: размер системы л/S -С ст.
5.29. 7 = 2r)4H4m2 sin2 /З/Зс3.
5*30* sin2/3'
5.31. р = tn = 0, Q 0,
Н = х п = - ^ea ^ sin^[e^ cos(2cj^ - 2a) + ea cos d sin(2cj^ - 2a)}. с r
504
Глава 5
Частота колебаний распределения заряда и тока и, следовательно, частота
поля вдвое превышает частоту со обращения каждого из зарядов по орбите.
Поляризация излучения - эллиптическая, приближающаяся к круговой
Если убрать один из зарядов, то интенсивность излучения возрастет по
условие ^ < 1.
А
5.32. Если угол между радиусами-векторами зарядов равен тг - ср,то
5.33. Направим ось х вдоль амплитуды момента осциллятора, опережающего по
фазе, а в качестве плоскости ху выберем плоскость, в которой лежат
моменты обоих осцилляторов. Обозначив через $, а полярные углы орта п,
указывающего направление распространения волны, получим:
Излучение максимально в направлениях д = 0 и д = 7г, перпендикулярных
моментам обоих осцилляторов, и неравномерно распределено по азимуту. Это
иллюстрируется на рис. 5.4 полярными диаграммами для случая ср = 45°. На
рис. 5.4 а показано угловое распределение по а в плоскости $ = 90°, на
