Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
Воспользоваться формулами преобразования моментов, полученными в задаче
4.37.
5.148. Получить поле равномерно движущегося электрического диполя
(момент р0 в системе покоя) с помощью результатов задачи 5.146 (см. ответ
к задаче 4.36).
5.4. Взаимодействие заряженных частиц с излучением
497
5.149*. Электромагнитное поле излучения описывается осциллятор-ными
координатами q^x (см. формулу 2.144). Написать дифференциальные
уравнения, которыми описывается взаимодействие поля излучения в
переменных qfcx с заряженной нерелятивистской частицей.
5.150. Найти изменение в единицу времени энергии поля излучения в
результате взаимодействия частицы с полем. Выразить эту величину через
осцилляторные координаты q^x и силы Fj^x(t) (см. решение предыдущей
задачи).
5.151*. Частица с зарядом е совершает простое гармоническое колебание по
заданному закону г = rosined, где г о = const. Используя метод
осцилляторов поля (см. задачу 5.149), найти угловое распределение и
полную интенсивность I излучения4.
5.152. Заряд е движется с постоянной угловой скоростью cjo по окружности
радиуса ао- Используя метод осцилляторов поля, исследовать характер
поляризации поля излучения заряда, найти угловое распределение и полную
интенсивность излучения (ср. с задачей 5.21).
5.153*. Линейно поляризованная волна с частотой со падает на
гармонический осциллятор, собственная частота которого сио. Используя
метод
осцилляторов поля, найти дифференциальное ^ и полное а сечения рассеяния
(лучистое трение не учитывать). Исследовать поляризацию рассеянного
излучения.
5.154. Найти дифференциальное ^ и полное а сечения рассеяния
линейно поляризованной, поляризованной по кругу и неполяризованной
монохроматических волн на свободном заряде, используя метод осцилляторов
поля (ср. с задачами 5.127 и 5.128).
5.155. На свободном заряде рассеивается: а) неполяризованная волна с
частотой си; б) волна, поляризованная по кругу. Исследовать характер
поляризации поля излучения, используя метод осцилляторов поля (см. задачи
5.127 и 5.128).
4Задача, конечно, может быть решена значительно проще (см. раздел 5.2).
Предлагаемый метод решения интересен своей тесной связью с методом
решения аналогичной задачи в квантовой электродинамике.
498
Глава 5
5.5. Ответы и решения
5.2. Ga(R,t) = 5(t + R/c)/R. Контур интегрирования см. на рис. 5.3.
5.5.
а" = \ J
<Ри>(г) = J
ехр [-гсо\г - г I г - г'\
ехр [-гио\г - г \/с\
\г - г
l3u>{r')dV',
PL0(r')dV'.
Гармоники Фурье запаздывающих потенциалов содержат экспоненты ехр[i(kR -
oot)\, к = cj/c, что соответствует расходящимся сферическим волнам,
переносящим возмущения от излучающей системы зарядов в окружающее
пространство. Гармоники Фурье опережающих потенциалов содержат экспоненты
ехр[-i(kR-\-cut)\, которые описывают сходящиеся к центру сферические
волны. Такие волны могли бы создаваться некоторым источником, находящимся
на бесконечности, но не заданной системой зарядов. Поэтому опережающие
потенциалы непригодны для описания процесса излучения в безграничном
пространстве.
3/2
5.8. iIjr'a(R, т) = -i
11/2
\47Г тс )
ехр
±^(co2±icoO)^^-H-
4 тсА
5.9. G+(/c) = -47г^--, G (к) = -г87г2е(к°)5(кгкг),
С- dt2
AG~ -
?2
1 d2G~ c2 dt2
= 0.
5.10. Acp(r, t) = -47Гp(r, t), AA(r,t) - = -^j(r,i) + i
/
dt2 с v ' cj R3 Д5
где R = r - r'. В уравнение для ip время входит как параметр. Поэтому
скалярный потенциал описывает кулоновское поле, определяемое мгновенным
(незапаздывающим) распределением зарядов.
5.5. Ответы и решения
499
5.11. Имеем по определению соленоид альных и потенциальных величин:
V • = V • Е1- = V • = О,
V х Н1 = V х В1 = V х j11 = 0.
магнитное поле соленоидально, т. е. Н = = Н^~, = 0.
Потенциальное электри-
ческое поле удовлетворяет уравнениям
V • E^(r, t) = 47гp(r, t), V х E^(r, t) = 0.
Это - уравнения электростатики, в которые время входит как параметр. Они
описывают мгновенное кулоновское взаимодействие. Соленоидальные
составляющие удовлетворяют уравнениям
УхЯх =
1 дЕА
с dt
4тг
с J '
VxEx = -
с dt
5.12. Воспользуемся дифференциальным уравнением для функции G^(r - г'):
(Дг + k2)Gu = -47г6(г - г') =
(1)
= - Щ-5(г - г')д( cos$ - cos $')5(а - а'), к =
М
Поскольку сферические функции Лежандра Yjm($, a) (Z = 0,1,2..., т = - Z,
-/ + 1, ... + Z) образуют полную ортонормированную систему (см. раздел
1.3), то они удовлетворяют условию
(2) ск) = ?(cos$ - cos??,)5(a - с/).
l,m
Таким образом, в правую часть уравнения (1) можно ввести сумму (2). В
левой части уравнения присутствует оператор Лапласа
500
Глава 5
причем, согласно результату задачи 1.119,
1 1 э2'
sintf 80
УгМ а) =
sm2 д да2 .
= ф) = -1(1 + 1 )Ylm(fl, а).
Это позволяет искать решение уравнения (1) в виде ряда
(4)
G5 = r') Е а)
1=0
и для неизвестных функций /Дг, г') получить уравнение
1(1 + 1)
(5)
J__d 2_d г2 dr dr
fi = -Щ 5(r-r').
T
Решениями однородного уравнения (5) являются всевозможные сферические
функции Бесселя, определение и некоторые свойства которых см. в разделе
