Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Батыгин В.В. -> "Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория" -> 109

Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.

Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория: Учебное пособие — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 736 c.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка): sovremennayaelektrodinamikat12002.pdf
Предыдущая << 1 .. 103 104 105 106 107 108 < 109 > 110 111 112 113 114 115 .. 225 >> Следующая

8Здесь выделен множитель 1/с, чтобы в нерелятивистском пределе имелась
обычная связь между действием и функцией Лагранжа
9В этом разделе мы используем большие латинские индексы для нумерации
компонент полевых функций (А, В = 1, 2 ... N). Малые латинские индексы
нумеруют четырехмерные координаты (г, к - 0, 1, 2, 3). Малые греческие
индексы, как и раньше, будут использованы для обозначения номера
пространственной координаты (а, ц = 1, 2, 3). В некоторых случаях, когда
это не будет вызывать недоразумений, через q и х без индексов будут
обозначаться совокупности N полевых функций и четырех координат
соответственно.
4.3. Введение в теорию поля
349
1. Релятивистская инвариантность. Действие S должно быть инвариантом
преобразования Лоренца, чтобы получаемые из него следствия не
противоречили принципу относительности10. Поскольку d4x - тоже
релятивистский инвариант,то инвариантом должен быть и лагранжиан ЬВ.
2. Локальность. Лагранжиан может зависеть только от конечного числа
производных. Все величины, входящие в него, берутся в одной
пространственно-временной точке. В электродинамике такая структура теории
естественным образом приводит к картине взаимодействия частиц через поле,
имеющееся в точке локализации каждой из частиц.
3. Включение в лагранжиан производных не выше первого порядка от
полевых функций. Это ограничивает уравнения поля вторым порядком по
координатам и времени.
4. Инвариантность действия относительно некоторых преобразований
(помимо преобразований Лоренца), связанных с внутренними симметриями
теории. Особенно большую роль в теории элементарных частиц играет
калибровочное преобразование, обобщающее калибровочное (градиентное)
преобразование электромагнитных потенциалов, смысл и следствия которого
будут разъяснены ниже.
5. Действительность лагранжиана, обеспечивающая действительность
(отсутствие мнимой части) у энергии поля и других физических величин.
Можно дать следующую формулировку вариационного принципа для поля:
Эволюция поля в пространстве и во времени происходит таким образом, что
действие остается стационарным относительно малых изменений поля при
фиксированном его значении на границе области интегрирования, т. е.
5S = 0 при 5qA |s = 0, (4.93)
где Е - трехмерная гиперповерхность, ограничивающая четырехмерный объем
интегрирования Q в (4.92).
Одни и те же уравнения поля можно получить из различных лагранжианов
отличающихся дивергенцией произвольного вектора Fm(qA,x):
dFm(qA,x)
dy (4.94)
Это объясняется тем, что четырехкратный интеграл от дивергенции
преобразуется в трехмерный интеграл по гиперповерхности Е, вариация
которого равна нулю в силу того, что полевые функции qA(xl) на этой
поверхности заданы.
10Разумеется, при формулировке нерелятивистских теорий действие не
обязано быть релятивистским инвариантом (см., например, задачи (4.118)-
(4.124))
350
Глава 4
Пример 4.16. Предполагая известным лагранжиан поля, записать уравнения
поля в лагранжевой форме, пользуясь сформулированным выше вариационным
принципом для поля.
Решение. Придаем компонентам полевых функций малые независимые приращения
5qA(xl), не связанные с изменением 4-координат, и вычисляем в первом
порядке вариацию
(1) 6S = S[qA+6qA]-S[qA]= j d4x(^5qA + .
Здесь использовано правило суммирования по повторяющимся значкам (как г,
так и А). Пользуясь равенством
(2) = 5Т^ = ?iSqA'
ox1 ox1
освобождаем SqA из-под знака производной путем интегрирования (1) по
частям:
(3) ss4d'i§-±'§)^+/d3s-§v-
Q ' Е '
Здесь d3Y*i - проекция элемента трехмерной гиперповерхности Е на ось г\
ввиду того, что поле на Е задано, имеем 5qA\^ = 0, и последнее слагаемое
в правой части (3) обращается в нуль. Приравнивая нулю первую вариацию
действия, получаем из (3) вследствие произвольности и независимости
функций 5qA и произвольности области интегрирования
Ж=<Щ-А-<Щ= о; А= 1, 2, N. (4.95)
5qA dq dxг dqA
Это и есть искомые уравнения поля в лагранжевой форме. Тождество в левой
части определяет вариационную производную от функционала действия. ¦
Пример 4.17. По аналогии с механикой системы материальных точек ввести
плотность обобщенного импульса поля
ТТЛ = 14- A=1,2,...,N, (4.96)
построить гамильтониан (плотность функции Гамильтона) поля и
сформулировать уравнения эволюции поля в гамильтоновой форме.
4.3. Введение в теорию поля
351
Решение. По аналогии с классической механикой материальных точек
определяем гамильтониан поля через его лагранжиан:
^(qA, кв, q%, Хк) = q^TTA - %¦ (4.97)
В правой части равенства, где подразумевается суммирование по индексу А,
нужно выразить все "обобщенные скорости" q^ через обобщенные импульсы 7га
с помощью равенств (4.96). В результате гамильтониан станет функцией qA и
на, пространственных производных q^ и, при наличии
внешних полей или источников, также функцией координат хк.
Для получения уравнений поля в гамильтоновой форме удобно снова
воспользоваться вариационным принципом. Однако, прямое перенесение
Предыдущая << 1 .. 103 104 105 106 107 108 < 109 > 110 111 112 113 114 115 .. 225 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed