Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
Указать пределы применимости метода.
б) Найти особые точки на фазовой плоскости "медленных" переменных р,
X. Дать их классификацию и вычислить частоты малых колебаний вблизи точек
устойчивого равновесия.
в) Изобразить фазовый портрет системы.
4.114. Сделать то же самое, что в предыдущей задаче, при наличии
быстроосциллирующего электрического поля
Е(х, t) = Eq cos(2ttx/L) cos uot.
4.115. Согласно гипотезе Дирака6, могут существовать частицы, имеющие
магнитные заряды ("монополи Дирака"). Величина магнитного заряда д, по
Дираку, квантуется:
~^ = \к, к = 0, ±1, ±2,
6Дирак П. A. М. - выдающийся английский физик-теоретик, основоположник
релятивистской квантовой механики и квантовой электродинамики.
4.2. Введение в теорию поля
347
где ео - элементарный электрический заряд. На частицы с магнитным зарядом
в магнитном поле действует сила 3* = дН. Вычислить величину минимального
магнитного заряда и приращение энергии магнитного монополя в поле Н = 1
кЭ на единицу пути.
4.116*. Дирак предложил описывать векторный потенциал магнитного заряда д
в сферической системе координат (г, а) выражением А = = (0, 0, (g/r)
tg($/2)). Вычислить напряженность магнитного поля и его поток через
замкнутую поверхность, окружающую начало координат. Какие трудности
формального и физического характера возникают при его использовании?
4.117*. Частица с зарядом е и массой т движется в поле магнитного
монополя с магнитным зарядом д. Найти ее интегралы движения. Для
нерелятивистской частицы найти также зависимость координат от времени.
4.3. Четырехмерная формулировка электродинамики. Введение в теорию поля
Методы Лагранжа и Гамильтона в теории поля. В истории физики
электродинамика явилась первой полевой теорией, в которой были развиты и
отработаны методы классической теории поля (принцип наименьшего действия,
лагранжево и гамильтоново описание поля, методы теории преобразований).
Квантовая электродинамика явилась первой квантовой теорией поля,
позволившей рассчитывать различные квантовоэлектродинамические эффекты с
точностью, которая до сих пор не достигнута ни в какой другой области
физики.
Одно время казалось, однако, что лагранжев и гамильтонов подходы, столь
эффективно применявшиеся в электродинамике, не имеют перспективы в
квантовой теории элементарных частиц, особенно при описании сильных
взаимодействий (см., например, статью [Ландау (I960)]7). Но создание
вскоре теории электрослабого взаимодействия и экспериментальное
обнаружение предсказанных ею промежуточных бозонов, а также создание
современной квантовой теории сильных взаимодействий - квантовой
хромодинамики, построенной в значительной степени по аналогии с квантовой
электродинамикой - не оставляют сомнений в важной роли методов
классической теории поля в новейших теориях элементарных частиц. Поэтому
в настоящую книгу включены разделы, посвященные общим принципам
7Ландау Лев Давидович (1908-1968) - выдающийся советский физик-теоретик,
Нобелевский лауреат, автор (вместе с Е. М. Лифшицем) всемирно известного
курса теоретической физики.
348
Глава 4
теории полей. В необходимых случаях мы используем и квантовые понятия,
как правило не выходящие за пределы стандартного университетского курса
квантовой механики.
В этом разделе главное внимание уделено лагранжевой форме уравнений поля
и принципу наименьшего действия, законам сохранения, а также основным
понятиям теории преобразований. Дополнительные сведения по классической
теории поля и ее связи с современными квантовыми теориями элементарных
частиц можно почерпнуть из учебников и монографий [Ландау и Лифшиц,
Теория поля], [Иваненко и Соколов (1951)], [Волошин и Тер-Мартиросян
(1984)], [Рубаков (1999)], [Медведев (1977)], [Коноплева и Попов (1980)],
[Гальцов и др. (1991)], [Соколов и др. (1986)], [Линде (1990)], [Окунь
(1988)].
Наиболее естественный путь введения вариационного принципа в теорию
непрерывных систем, каковыми являются электромагнитное и другие поля -
это предельный переход от механики дискретных точечных масс к механике
непрерывной среды (см. Дополнение 2). В результате мы приходим к
определению действия как интеграла по некоторой фиксированной области Q в
четырехмерном пространстве-времени от плотности функции Лагранжа (или
лагранжиана) SB:
S=lj^(qA,qfi,x)dix. (4.92)
п
Лагранжиан8 SB в общем случае зависит от функций9 qA(xk), описывающих
рассматриваемое поле, и их производных qAk = dqA/dxk, а также
от четырехмерных координат хк. В зависимости от природы поля полевые
функции qA могут быть действительными или комплексными, а их число (число
значений индекса Л) может быть различным. Полевые функции qA, как и их
вариации, считаются в дальнейшем независимыми.
Структура лагранжиана не может быть полностью произвольной - она должна
подчиняться ряду ограничений, которые вытекают из общефизических
принципов и надежно установленных симметрий, присущих физическим явлениям
и подтверждаемых опытом. Перечислим основные ограничения:
