Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
направлением силовой линии. Считая изменение поля в пространстве
медленным, найти соотношение между Н и Нш, при котором частица отразится
от области с сильным полем.
4.104. Структура магнитного поля в адиабатической ловушке с
аксиально-симметричным полем имеет вид, схематически изображенный на рис.
4.4. В среднюю часть ловушки, где напряженность поля равна Н, впрыснута
порция частиц с изотропно распределенными скоростями. Какая доля R частиц
удержится в ловушке в течение длительного времени?
4.105. В ловушку с аксиально-симметричным полем, изображенным на рис.
4.4, захвачена порция частиц. Частицы проводят большую часть времени в
средней части ловушки, где поле почти однородно. Пусть поле ловушки
медленно нарастает во времени таким образом, что форма магнитных силовых
линий не меняется. Найти, как изменяется расстояние от ведущего центра
каждой из частиц до оси ловушки.
4.106. В однородном магнитном поле с напряженностью Н находится
неподвижный точечный заряд q. Частица с зарядом е и массой га, имеющая на
бесконечности продольную составляющую скорости г>ц, рассеивается на
заряде q. Считая применимым дрейфовое приближение и пренебрегая
изменением продольной скорости при рассеянии, найти, по какой силовой
линии будет двигаться ведущий центр частицы после рассеяния. До рассеяния
он
Рис. 4.4
4.2. Движение заряженных частиц в электромагнитных полях.
345
двигался по силовой линии, уравнение которой в цилиндрических координатах
с осью Oz, проходящей через заряд q и ориентированной вдоль поля, имеет
вид г = I, ср = 0.
4.107. Магнитное поле Земли можно представить приближенно как поле
точечного диполя с магнитным моментом ^ = 8,1-1025 Гс • см3. Протон с
энергией 8 = 50 МэВ в некоторый момент времени находится в плоскости
магнитного экватора на расстоянии двух земных радиусов от центра Земли и
движется поперек магнитных силовых линий. Найти в дрейфовом приближении
закон движения ведущего центра протона. За какое время Т он совершит
полный оборот вокруг земного шара? Каков ларморов радиус R протона?
Радиус земного шара г* = 6380 км, его масса М = 6 х 1027 г.
4.108*. Протон находится в плоскости геомагнитного экватора (см. условие
предыдущей задачи) на расстоянии г от центра Земли, его импульс
составляет угол а с направлением магнитной силовой линии, а) Пренебрегая
гравитационным полем, показать,что ведущий центр протона, наряду с
движением вдоль магнитных силовых линий, будет испытывать азимутальный
дрейф, и найти угловую скорость дрейфа cod, выразив ее через г и
геомагнитную широту А. б) Указать значения Ат, соответствующие точкам
отражения частицы в земном магнитном поле, в) Найти условия, при которых
протон может достичь поверхности Земли.
4.109. Расстояние между магнитными пробками в адиабатической аксиально-
симметричной ловушке, изображенной на рис. 4.4, медленно изменяется по
закону l(t). Построить адиабатический инвариант, связанный с продольными
колебаниями захваченной в ловушку частицы. Пользуясь адиабатическим
инвариантом, выразить изменение энергии частицы через расстояние между
пробками l(t), считая поле в большей части ловушки квазиоднородным
(отражение от "магнитных зеркал").
4.110**. Электрическое поле Е всюду однородно и направлено вдоль оси Ох,
а магнитное поле параллельно Оу и испытывает скачок по абсолютной
величине на плоскости z = 0, так что при z < 0 Н = а при z > 0 Н = Н2>
" Е.
Частица первоначально находится в области z < 0 и имеет импульс Pi _L Hi.
Вычислить энергию частицы 82, усредненную по лар-моровскому вращению,
после того, как ее ларморов кружок продрейфует в область z > 0.
4.111***. Релятивистская частица движется в неоднородных электрическом и
магнитном полях
Е - €,хЕх(х) СуЕу, Н - ехНх -Ь ezHz(x),
346
Глава 4
где Еу = const > О, Нх = const, а Ех(х) и Hz(x) - произвольные (не
обязательно медленно меняющиеся) функции х, принимающие значения Ех = О,
Hz = Hi при х -> -оо и Ех = О, Hz = Н2 > Hi при ж -> +оо. Кроме того,
всюду ^"Яи |ЯЖ| <С Hz.
Построить адиабатический инвариант частицы, связанный с ее движением в
направлении оси Ох. С помощью адиабатического инварианта найти изменение
энергии частицы при переходе из области с полем Hi в область, где поле Hz
= В2. Проанализировать частные случаи, в том числе случай резкого скачка
Hz.
Замечание. В этой и предыдущей задачах предлагается в упрощенной модели
исследовать взаимодействие заряженной частицы с фронтом ударной волны в
плазме с магнитным полем.
4.112. Обобщить уравнения (4.86), выведенные в примере 4.14, на случай
одномерного движения релятивистской частицы в быстро осциллирующем поле.
4.113*. Нерелятивистская заряженная частица движется в периодическом
постоянном потенциальном поле U(x) = Uo[l - cos(2ttx/L)], на которое
наложено быстроосциллирующее модулированное электрическое поле E(x,t) =
Ео Бт(2тгх/L) cos cut.
а) Провести усреднение по быстрым осцилляциям и найти усредненную
потенциальную энергию, которой можно описать сглаженное движение частицы.
