Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
(4.86)
- эффективная потенциальная энергия, учитывающая усредненное
воздействие высокочастотного поля. ¦
Фазовые траектории и фазовый портрет. Характер движения частицы в поле
Ueff(X) зависит от его конкретного вида, а также от начальных условий.
Можно составить общее представление о характере движения при разных
начальных условиях, если найти особые точки фазовой плоскости (X, р), ее
сепаратрисы и изобразить фазовый портрет рассматриваемой системы, т. е.
характерные типы фазовых траекторий.
Особыми точками называются точки, в которых одновременно X = = 0, р = 0.
Поскольку X = р/т, то все особые точки лежат (в рассматриваемом
простейшем случае) на оси ОХ и находятся в точках равновесия Хп, = 0-
Точки равновесия являются устойчивыми
при U"ff(Xn) = кп > 0 и неустойчивыми при кп < 0. При кп = 0 требуется
рассмотреть старшие производные.
Вблизи особых точек нетрудно исследовать движение частицы в общем виде.
Разлагая функцию Гамильтона Н(р, X) = р2/2т + Ueff(X) по малым
отклонениям р и х = X - Хп от особой точки, получим уравнение кривой II
порядка на фазовой плоскости:
р2 ± ткпх2 = 2т(Е - Еп),
где Е - полная энергия частицы, Еп = Ueff(Xn). Знак (+) в левой части
соответствует устойчивой точке, которая называется эллиптической, или
центром, так как фазовые траектории остаются в ее окрестности и имеют вид
эллипсов. При этом возможны только значения Е ^ Еп.
Знак (-) отвечает гиперболам, а значения Е при этом могут быть как
больше, так и меньше Еп. При Е = Еп фазовые траектории вырождаются в
четыре прямолинейных отрезка, исходящие из особой точки (две
пересекающиеся прямые - асимптоты гипербол). Соответствующая точка
неустойчива (частица уходит от нее) и называется гиперболической, или
седлом.
4.2. Движение заряженных частиц в электромагнитных полях.
339
Фазовые траектории, проходящие через неустойчивые особые точки и
разделяющие области финитного (хотя бы с одной стороны) и инфинит-ного
движения, называются сепаратрисами. Примеры особых точек и фазовых
траекторий приведены на рис. 4.2. На нем изображено одномерное
потенциальное поле U(q) и фазовый портрет частицы, движущейся в этом
поле. С\ и С*2 - сепаратрисы, точки (0, qi) и (0, <?з) на фазовой
плоскости - эллиптические (центры), точки (0, <72) и (0, <74) -
гиперболические (седла).
Рис. 4.2
Адиабатические инварианты. Обратимся теперь к случаю, противоположному
тому, который был рассмотрен в примере 4.14. Пусть внешнее поле U(х,
А(?)), в котором частица совершает периодическое движение с периодом Т,
медленно (адиабатически) изменяется со временем, так что параметр A(t)
удовлетворяет условию
\ТХ\ <С А (4.87)
(разумеется, при переменном А движение будет не строго периодическим, но
близким к периодическому). Как известно из механики [Ландау и Лиф-шиц,
Механика], [Заславский и Сагдеев (1988)], в этом случае можно по-
340
Глава 4
строить приближенный интеграл движения - адиабатический инвариант
где интегрирование производится по квазипериоду колебаний, а р и q -
канонические переменные. Хотя адиабатический инвариант (4.88),
вычисленный с точными р и <7, испытывает малые осцилляции с периодом
колебаний системы, его усреднение по указанному периоду приводит к
постоянному значению, которое сохраняется с высокой (часто
экспоненциальной) точностью в течение многих периодов. При фактическом
вычислении интеграла (4.88) в большинстве случаев достаточно это сделать
в нулевом приближении, т. е. считать А = const и только после нахождения
явной зависимости /(А) придавать параметру А зависимость от t. С помощью
адиабатических инвариантов можно решать многие задачи о движении частиц в
медленно изменяющихся электромагнитных полях.
Пример 4.15. Построить адиабатический инвариант, связанный с вращением
заряженной частицы вокруг направления магнитного поля. Поле испытывает
медленные изменения в пространстве и во времени.
Решение. Определим адиабатический инвариант в системе S' ведущего центра
частицы. Канонические переменные р' и q' берем в нулевом приближении, т.
е. без учета пространственной и временной неоднородности поля. Выберем в
качестве q' азимутальный угол а', определяющий положение частицы на
ларморовой орбите. Линейная скорость частицы имеет только азимутальную
составляющую vr = v'a = где R'± - ларморов
радиус. Функция Лагранжа (4.46) имеет вид
где А' и ср' - электромагнитные потенциалы в системе ведущего центра.
Вычислив обобщенный импульс
и подставив его в интеграл (4.88), получим два интеграла, из которых пер-
(4.88)
L = -тс2
выи дает
27г
0
4.2. Движение заряженных частиц в электромагнитных полях.
341
так как а! = сеН'/8' - частота вращения. Второй интеграл представляется в
виде
27г
J A'aR'± da' = j) A! -dl' = J rot A' ¦ ndS = -kR'IH 0
где использована теорема Стокса. Объединяя два последних результата,
находим
т/ Зе zv2 ттf Зе Р-L
1 - -- 11 | JrL - -------.
2с ^ 2с Н'
При переходе в лабораторную систему, движущуюся вдоль Нг со скоростью
