Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
угол, изменяющийся в пределах от 0 до ж.
Показать, что р = In (см. рис. 5, иа котором изображены плоскости а =
const, а + 7г = const), а величины ? представляют собой угол между г\ и
гг (? > 0 при z > 0 и ? < 0 при z < 0). Какой вид имеют координатные
поверхности р и ?? Найти коэффициенты Ламэ.
ЛИТЕРАТУРА
Смирнов В. И. [94, 95], Кочин Н. Е. [62], Тамм И. Е. [101], Стрэттон Дж.
А. [100], Гельфаид И. М. [30], Гельфанд И. М., Минлос. Р. А., Шапиро 3.
Я. [31], Морс Ф. М., Фешбах Г. [81], Лебедев В. П., Скапьская И. П.,
Уфлянд Я. С. [69].
Глава II
ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
В этой главе содержатся задачи на определение потенциала ip(r) и
напряженности поля Е(г) по заданному распределению зарядов,
характеризуемому объемной р(г), поверхностной сг(г) или линейной х(г)
плотностью. Распределение точечных зарядов может быть описано объемной
плотностью р(г) = qi5(r - Ti), где qi - величина г-го заряда, г* -
радиус-век-i
тор г-го заряда, <5(г - г*) - (5-функция (см. приложение 1).
Напряженность электрического поля удовлетворяет уравнениям Максвелла
div Е = Атгр, rotE = 0. (11.1)
Бывает полезна интегральная форма первого из этих уравнений (электро-
статическая теорема Гаусса):
j>EndS = 4тг<7, (II.2)
s
где 5 - некоторая замкнутая поверхность, q - полный заряд внутри этой
поверхности. Потенциал и напряженность электрического поля связаны
соотношениями
Го
Е = -grad</>, <р(г) = J'E-dr, ^?(г0) = 0. (II.3)
Г
Потенциал <р удовлетворяет уравнению Пуассона
А(р = -Ажр. (П-4)
Потенциал непрерывен и конечен во всех точках пространства, где нет
точечных зарядов, в частности, на заряженной поверхности, разделяющей
30
Глава II
области 1 и 2, ip\ = ifi2 (рис. 6). Нормальные производные терпят разрыв
на заряженной поверхности:
Е2п ~ Ein = 47гсг или ^ ^ = 47гсг. (П.5)
Нормаль п направлена из области 1 в область 2.
На поверхности двойного электрического слоя с мощностью г (см., например,
[101])
д(Р2 Л ,тт
~дп = ~дп' V'2~V>1= 47ГТ (П-6)
(нормаль п имеет направление от отрицательной стороны слоя к положи-
тельной).
Если распределениям зарядов р\ и р2 соответствуют потенциалы <pi и <f2,
то потенциалом распределения р = pi + р2 является <p=<pi + <f2 (принцип
суперпозиции). То же справедливо для электрического поля Б. В частности,
принцип суперпозиции позволяет из потенциалов элементарных зарядов q/r
получать путем суммирования потенциалы сложных систем зарядов:
?>( г) = J
p(r') dV'
|r -r'l '
(II.7)
В случае поверхностного или линейного распределения зарядов объемный
интеграл в (II.7) заменяется соответствующим поверхностным или линейным
интегралом, а в случае системы точечных зарядов суммой по зарядам. Это
замечание относится также ко всем нижеследующим формулам, в которых
содержатся объемные интегралы по распределению зарядов.
В большинстве случаев прямое вычисление интеграла (II.7) затруднительно.
В связи с этим часто применяется представление потенциала в виде ряда,
который получается в результате разложения подынтегрального выражения по
степеням х/r или х'/r и почленного интегрирования. Такое разложение можно
получить как в декартовых, так и в сферических координатах.
Декартовы координаты (рис. 7). При г > а (а - наибольшее расстояние
зарядов системы от полюса О):
д 1 , Qa0 д2 1
ф,у,2) = 1-ра^-.\+ 2! дхадх0 г
Qa0y 93 1 (II.8)
3! дхадхрдх-у г
Постоянное электрическое поле в вакууме
31
Мультипольные моменты q, ра, Qap ... выражаются объемными интегралами:
9
Ра
- полный заряд системы,
- компоненты дипольного момента,
= j p(r')dV'
= J p(r')x'a dV'
Qa/3 = J р(r)xax'p d,V' - компоненты квадрупольного момента.
Величины q, ра, Qap... при повороте системы координат преобразуются
соответственно как скаляр, вектор, тензор II ранга и т.д. Второй и третий
члены потенциала (II.8) могут быть записаны в форме
*>(Р) = 4е.
г*
(П.9)
где р = (Рх>Ру>Рг) - вектор дипольного момента системы;
Ч>
(Q)
2 г5
[(Зх2 ~r2)Qxx+
+ (3у2 - r2)Qyy + (3z2 - r2)Qzz+
+ 6 xyQxy + 6xzQxz + 6 yzQyz\. (II.9')
Рис. 7
Сферические координаты. Используем разложение |г-г'|-1, приведенное в
приложении 2 (П2.15). Подставляя это разложение в (II.7), получим при г >
г'\
ОО I f---------
1=0 т=-1 '
ri+1
(г > г'),
где Qim - мультипольный момент порядка I, т;
QimV^Sl / P^V'YCmW^dV'.
Если г' > г, то в (П11,15) г и г' меняются местами и
(11.10)
(11.11)
32
Глава II
где
QL
(11.13)
Если точка наблюдения г находится внутри распределения зарядов (см. рис.
7), то нужно разбить область интегрирования в (II.7) на две части сферой
радиуса г с центром в полюсе О. При интегрировании по области внутри
сферы нужно пользоваться разложением (П2.15), при интегрировании по
внешней области - формулой (П2.15) с заменой ri^r'.
Реальные системы зарядов всегда ограничены, и их потенциал убывает на
больших расстояниях не медленнее, чем 1 /г. Но при рассмотрении поля
вблизи средней части длинного цилиндра или ограниченного плоского тела
целесообразно идеализировать задачу, считая тело бесконечным. При этом
