Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
точечного заряда.
809. Разложить по плоским волнам напряженность электрического поля Б
неподвижного точечного заряда е.
ОО
ОО
\
- ОО
0
(XII.43)
ОО
У /2(r,0(dr) = (2тг)3 JJJ |/k|2(dk).
- ОО
§ = Hw, р = /гк.
(XII.44)
810. Точечный заряд движется в вакууме со скоростью v = const. Разложить
поле <р, А, Б, Н заряда на плоские монохроматические волны.
222
Глава XII
811*. Найти потенциалы ip(г, t), А(г, t) поля равномерно движущегося
точечного заряда е (см. ответ к задаче 610), используя разложения этих
потенциалов по плоским волнам, полученные в предыдущей задаче.
Указание. Для вычисления интеграла по (dк) сделать замену перемен-к
ных кх -у х -т ку -у ку, kz -у kz (ось х || v) и воспользоваться
раз-
у/\ - v2/c2
ложением поля неподвижного точечного заряда на плоские волны (см. задачу
808*).
812*. Нейтральная точечная система зарядов движется в вакууме равномерно
со скоростью V. Найти электромагнитное поле ip(г, t), А(г, t),
воспользовавшись разложением Фурье по плоским монохроматическим волнам,
если электрический р и магнитный ш дипольные моменты в лабораторной
системе отсчета заданы.
Указание. Плотности электрического заряда и тока системы выражаются
формулами:
j = crot[m<5(r - vi)] + ^[р5(г " vt)L р = - div[p<5(r - vt)].
813. Получить потенциалы поля равномерно движущегося магнитного диполя
(момент шо в системе покоя диполя). Скорость диполя v. Ограничиться двумя
частными случаями: а) когда trio || v, б) когда trio -L v.
Воспользоваться формулами преобразования моментов, полученными в задаче
613.
814. Получить поле равномерно движущегося электрического диполя (момент
ро в системе покоя) с помощью результатов задачи 812* (см. ответ к задаче
612).
815. Показать, что компоненты Фурье разложения безвихревого вектора на
плоские волны параллельны к (продольны), а компоненты Фурье
соленоидального вектора - перпендикулярны к (поперечны).
816*. Записать уравнения, которым удовлетворяют в вакууме безвихревая и
соленоидальная части векторов электромагнитного поля Б и Н. Показать, что
безвихревая часть электрического поля Ец(г, t) описывает мгновенное
(незапаздывающее) кулоново поле, определяемое распределением зарядов в
тот же момент времени, для которого определяется Ец.
817*. Разложить свободное (р = 0, j = 0) электромагнитное поле А(г, t) в
вакууме на плоские волны (в этом случае <р = 0). Поле занимает
неограниченное пространство. Представить амплитуды Фурье этих
§ 4. Разложение электромагнитного поля на плоские волны
223
волн в виде Ak\{t) = с_9кл(0екЛ> где е^л - орт, характеризующий nv2
направление поляризации данной поперечной волны, так что к • = О
(см. начало § 1 гл. VIII). При этом каждому к, очевидно, соответствуют
два независимых орта поляризации (Л = 1,2). Орты и вк2, взаимно
ортогональны: eki • е?з = eki • ек2 = 0. Найти уравнения, которым в общем
случае удовлетворяют комплексные "координаты" qk\{t). Выразить
напряженности Е, Н, энергию W и импульс G поля через и <&*.
818*. Используя результаты предыдущей задачи, ввести вещественные
осцилляторные координаты
Qv.\ = akAe Vjlt + akAe*Wt и выразить векторы поля А, Б, Н через эти
координаты. Найти также энергию W и импульс G поля в координатах QkA-
819*. Электромагнитное поле излучения описывается осцилляторны-ми
координатами qy\ (см. задачу 817*). Написать дифференциальные уравнения,
которыми описывается взаимодействие поля излучения в переменных qy\ с
заряженной нерелятивистской частицей.
820*. Найти изменение в единицу времени энергии поля излучения в
результате взаимодействия частицы с полем. Выразить эту величину через
осцилляторные координаты и силы Fk\(t) (см. решение предыдущей задачи).
821*. Частица с зарядом е совершает простое гармоническое колебание по
заданному закону г = го sinwoi, где го = const. Используя метод
осцилляторов поля (см. задачу 819*), найти угловое распределение и полную
интенсивность I излучения1.
822. Заряд е движется с постоянной угловой скоростью loq по окружности
радиуса ао- Используя метод осцилляторов поля, исследовать характер
поляризации поля излучения заряда, найти угловое распределение и полную
интенсивность излучения (ср. с задачей 732).
823*. Линейно поляризованная волна с частотой и> падает на гармонический
осциллятор, собственная частота которого сц). Используя метод
осцилляторов поля, найти дифференциальное ^ и полное сг сечения рассеяния
(лучистое трение не учитывать). Исследовать поляризацию рассеянного
излучения.
'Задача, конечно, может быть решена значительно проще (см. § 1 этой
главы). Предлагаемый метод решения интересен своей тесной связью с
методом решения аналогичной задачи в квантовой электродинамике.
224
Глава XII
824. Найти дифференциальное ^ и полное а сечения рассеяния линейно
поляризованной, поляризованной по кругу и неполяризованной
монохроматических волн на свободном заряде, используя метод осцилляторов
поля (ср. с задачами 799* и 800).
825. На свободном заряде рассеивается: а) неполяризованная волна с
