Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
место обобщенная теорема Остроградского-Гаусса:
Оператор V в подынтегральной функции /(V, г) действует на г и стоит левее
всех переменных.
УКАЗАНИЕ. Разложить п по ортам декартовой системы координат и
воспользоваться теоремой Остроградского-Гаусса:
54. Решить задачи 50 и 51 с помощью обобщенной теоремы Остроградского-
Гаусса, доказанной в предыдущей задаче.
55. Интеграл по замкнутому контуру $<pdl преобразовать в интеграл по
поверхности, опирающейся на этот контур.
56. Интеграл f и df, взятый по некоторому замкнутому контуру,
преобразовать в интеграл по поверхности, опирающейся на этот контур (и, /
скалярные функции координат).
57. Доказать тождество:
J (А • rot rot В - В • rot rot A) dA = ? [(В х rot А) - (А х rot В)] •
dS.
58. Внутри объема V вектор А удовлетворяет условию div А = 0, а на
границе объема (поверхность S) - условию Ап = 0. Доказать, что f A dV =
0.
/(с iai + с2а2,г) =ci/(abr) +с2/(а2,г),
J ^ dV = j) iprix dS.
V
24 Глава I
A(r) dV
59*. Доказать, что divR Г -------г = 0, где А(г) - вектор, определен-
|R-r|
ный в предыдущей задаче.
60. Для трехмерного тензора II ранга доказать теорему Остроградского-
Гаусса:
/ ^~dV = fTikdSi'
Указание. Исходить из теоремы Остроградского - Гаусса для вектора Ai = =
Tikak, где а - произвольный постоянный вектор.
61. Найти общий вид решения уравнения Лапласа для скалярной функции,
зависящей только: а) от г; б) от •&; в) от а (сферические координаты).
62. Найти общий вид решения уравнения Лапласа для скалярной функции,
зависящей только: а) от г; б) от а; в) от z (цилиндрические координаты).
63. Показать, что если скалярная функция ф является решением уравнения
Д-0 + к2ф = 0 и а - некоторый постоянный вектор, то векторные функции L =
grad ¦ф, М = rot(a^i), N = rotM удовлетворяют уравнению ДА + к2 А = 0.
2 t/2 2
64*. Уравнение ^ + ^ + ^- = 1 (а >Ь> с) изображает эллипсоид а b с с
полуосями а, Ь, с. Уравнения
•?!____I___У._______I_Z________ - 1 р > _с2
"2 , с + 1.2 , С + "2 . ^ ^ С '
а*+е ъ*+е +е
X2 , J/2 , Z2 1 _2 ^ ^ ь2
a2+7? + 62+7? + c2+7?-1' С Ь '
= 1, _62^0_а2
а2 + С 62 + С с2 + С
изображают соответственно эллипсоид, однополостной и двухполостной
гиперболоиды, софокусные с первым эллипсоидом. Через каждую точку
пространства проходит по одной поверхности, характеризуемой значениями ?,
т), ?. Числа ?, т), С называются эллипсоидальными координатами точки х,
у, z. Найти формулы преобразования от ?, т), ? к ж, у, 2. Убедиться в
ортогональности эллипсоидальной системы координат. Найти коэффициенты
Ламэ и оператор Лапласа в эллипсоидальных координатах.
§ 2. Векторный анализ
25
65*. При а = Ь > с эллипсоидальная система координат (см. предыдущую
задачу) вырождается в так называемую сплюснутую сфероидальную систему
координат. Координата ( при этом переходит в постоянную, равную -а2, и
должна быть заменена другой координатой. В качестве последней выбирают
азимутальный угол а в плоскости осу.
Координаты ?, г) определяются из уравнений
г2 z2
-------1------- = 1
а2+е <?+z '
Г2 Z2
-------1--------- = 1
о ~ п J
сг + г) сг + г)
2 2,2
Т = X + у ,
где f ^ -с2, -с2 ^ 77 ^ -а2.
Поверхности ? = const представляют собой сплюснутые эллипсоиды вращения
вокруг оси z, поверхности г) = const - софокусные с ними однополостные
гиперболоиды вращения (рис. 2 ).
Найти выражения г, z в сплюснутых сфероидальных координатах, коэффициенты
Ламэ и оператор Лапласа в этих координатах.
66*. Вытянутая сфероидальная система координат получается из
эллипсоидальной (см. задачу 64*) при а> Ь = с. Координата г) при этом
вырождается в постоянную и должна быть заменена азимутальным углом а,
отсчитываемым в плоскости yz от оси у.
26
Глава I
Координаты ?, ( определяются из уравнений
а2 + ? с2 + ?
= 1,
а2 + С с2 + С
1 2 2.2 = 1, Г = jf + z
где ? ^ -Ь2, -Ь2 ^ С > -а2-
Поверхности постоянных ? и ? представляют собой вытянутые эллипсоиды и
двухполостные гиперболоиды вращения (рис. 3). Выразить величины х, г
через ?, С; найти коэффициенты Ламэ и оператор Лапласа в переменных ?, а.
Рис. 4
67. Бисферические координаты ?, т), а а связаны с декартовыми
соотношениями:
х =
У =
z =
a suit) cos а ch? - cos ту' a sin rf sin a ch? - cost;'
ash?
ch? - cost}'
где a - постоянный параметр, -oo < ? < oo, 0 < 77 < 7Г, 0<a< 2я\
§ 2. Векторный анализ
27
Показать, что координатные поверхности ? = const представляют собой сферы
х2 + у2 + (z - acth?)2 = > поверхности ту = const -
веретенообразные поверхности вращения вокруг оси z, уравнение которых
(у/х2 + у2 - actgTj)2 + z2 = (-^)
поверхности а = const - полуплоскости, расходящиеся от оси z (рис. 4).
Убедиться в том, что эти координатные поверхности ортогональны между
собой. Найти коэффициенты Ламэ и оператор Лапласа.
Рис. 5
68. Тороидальные координаты р, ?, а образуют ортогональную систему и
связаны с декартовыми координатами соотношениями
ash рcos а
У =
z =
chp - cos?' ashpsina chp - cos?'
asin? ch p - cos ? '
28
Глава I
где а - постоянный параметр, -оо < р < оо, -ж < ? ^ 7г, а - азимутальный
