Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
Глава XII
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
§ 1. Вектор Герца и разложение по мультиполям
Задача нахождения переменного электромагнитного поля в вакууме по
заданному распределению зарядов р(т', t) и токов j(г', t) может быть
решена путем вычисления запаздывающих потенциалов:
г р(т''' 1 ~ §)
<p(r,t)=j dV', (XII. 1)
А(г, t) = \J dV', (XII.2)
где R = | г - г' |, г - радиус-вектор точки наблюдения поля, г' - радиус-
вектор источника поля, dV' - элемент объема источника поля. Эти
потенциалы удовлетворяют уравнениям Даламбера:
= с(tm)-3)
ДА - \ = -Ч* (М1-4)
с1 dt1 с и связаны между собой условием Лоренца:
div А + - • ^ = 0. (XII.5)
с at
Количество неизвестных функций может быть уменьшено, если вместо
потенциалов A(r, t) и <р(г, t), связанных между собой уравнением (XII.5),
200
Глава XII
ввести одну векторную функцию Z(r, t) (вектор Герца, и поляризационный
потенциал), через которую А и ip выражаются формулами:
Распределение зарядов и токов при этом целесообразно описывать с помощью
одной векторной функции Р(г', t), связанной с р и j соотношениями:
Такое определение величины Р обеспечивает выполнение уравнения непре-
Чтобы найти электромагнитное поле по заданным р и j, используя вектор
Герца, нужно сначала определить с помощью формул (XII.8) и (XII.9) вектор
поляризации Р. Вследствие аналогии между уравнениями (ХП.З)-(ХП.4) и
(XII. 10) вектор Герца выражается затем через Р так же, как запаздывающие
потенциалы tp и А через р и j:
Если система зарядов и токов заключена в ограниченной области, размеры
которой имеют порядок а, а порядок величины длин волн, существенных в
спектральных разложениях потенциалов, составляет Л, то при
ip = - div Z,
(XII.6)
(XII.7)
р = - div Р
(XII.8)
(XII.9)
рывности div j + ^ = 0. Величина Р называется поляризацией (не следует
смешивать эту величину с поляризацией диэлектрика).
Вектор Герца Z удовлетворяет уравнению Даламбера:
(XII. 10)
Векторы Б и Н выражаются через Z формулами:
Е = rot rot Z - 47гР, 'j тт _ 1 9rotZ r
- с Ы ' J
(XII.ll)
(XII. 12)
| < 1 и P < 1
(XII. 13)
§ 1. Вектор Герца и разложение по мультиполям 201
можно произвести разложение подынтегральных функций по степеням ^
А
и 2.
Г
Если ограничиться первым членом такого разложения, то
Z(r,f) = ^P, (XII. 14)
где t' = t - ? - ретардированное время центра системы.
Величина
p(f') = J T'p{T',t')dV' (XII. 15)
представляет собой электрический дипольный момент распределения зарядов
(ср. с задачами 741,742). Соответствующие выражения для А и уз будут
тогда следовать из (XII.6) и (XII.7).
Особый интерес представляет рассмотрение поля на таких больших
расстояниях г от системы зарядов, что наряду с (XII. 13) выполняется
неравенство
г' < А < г (XII.16)
(волновая зона). В этом случае для нахождения поля можно воспользоваться
А
разложением векторного потенциала по степеням -, которое с точностью
А
до имеет вид:
Мг,1)=т+Щ1+т^. (xu.i7)
сг 2сг сг
Здесь п = ? - орт в направлении распространения электромагнитных волн,
= YC / г' х (XII. 18)
m
- магнитныи дипольныи момент,
Qa = Qa0 = f p(г', t')x'ax'0 dV' (XII. 19)
0 J
- составляющие квадрупольного момента, точкой обозначается
дифференцирование по t'.
202 Глава XII
Характерна зависимость векторного потенциала в волновой зоне от
расстояния г до системы. Она обеспечивает (см. ниже) существование
неисчезающего на бесконечности потока энергии в направлении от системы.
Это значит, что таким векторным потенциалом описывается излучение
электромагнитной энергии.
Второй (электрический квадрупольный) и третий (магнитный диполь-
ный) члены в этом выражении меньше в ^ раз1 первого (электрического
Л
дипольного) по порядку величины и могут быть отброшены, если только нет
каких-либо особых причин, сильно уменьшающих первый член.
В волновой зоне поле в достаточно малых областях пространства имеет
характер бегущей от источника плоской волны. Напряженности этого поля
могут быть вычислены по формулам:
Н = х п, Е = Н х п. (XII.20)
Угловое распределение излучения характеризуется количеством энергии,
протекающей в единицу времени через единицу телесного угла:
= т~Н2г2. (XII.21)
dQ. 4тг v 7
Полная интенсивность I излучения получается интегрированием (XII.21) по
всем направлениям.
При использовании разложения (XII. 17), получаем
1= з?(r)2 + " (?в")Ч + Йг(Л)2' <МШ)
а0 0
В случае периодического движения зарядов обычно представляют
основной интерес средние по времени за период величины I и Щг.
ail
726. Непосредственной подстановкой убедиться в том, что запаздывающие
потенциалы удовлетворяют уравнению Даламбера и условию Лоренца.
727. Используя результаты задачи 32*, получить формулу (XII.22).
728. Записать уравнения, которым удовлетворяют электромагнитные
потенциалы ip и А, если вместо условия Лоренца (XII.5) наложить на них
условие div А = 0 (так называемая кулонова калибровка).
'Если излучающей системой является частица, движущаяся в ограниченной
области со а . г>
скоростью v, то - " -.
