Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Батыгин В.В. -> "Сборник задач по электродинамике" -> 5

Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.

Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Сборник задач по электродинамике — М.: НИЦ, 2002. — 640 c.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка): sbornikzadachpoelektrodinam2002.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 177 >> Следующая

совокупность величин е** является тензором II ранга. (Точнее, е**
является тензором, если а и b - оба полярные векторы или псевдовекторы, и
псевдотензором, если один из векторов - полярный, а другой - аксиальный.)
13. Показать, что совокупность величин AikiBik, где Aiki - тензор
III ранга, a Bik - тензор II ранга, является вектором.
14. Найти закон преобразования совокупности объемных интегралов Tik = /
XiXkdV при пространственных поворотах и отражениях (х{ и Хк - декартовы
координаты).
1 Определение шаровых функции приведено в приложении 2.
§ 1. Векторная и тензорная алгебра
17
15. Составить матрицы преобразования базисных ортов: при переходе от
декартовых координат к сферическим и обратно; при переходе от декартовых
координат к цилиндрическим и обратно.
16. Записать матрицу преобразования компонент вектора: при отражении
трех координатных осей; при повороте декартовой системы координат вокруг
оси z на угол а.
17. Найти матрицу преобразования компонент вектора при повороте
координатных осей, определяемом углами Эйлера ai,
в, а2 (рис. 1), путем перемножения матриц, соответствующих поворотам
вокруг оси z на угол "1, вокруг линии узлов ON на угол в и вокруг оси z'
на угол а2.
18. Найти матрицу D{oti6a2), с помощью которой преобразуются
циклические компоненты вектора (см. задачу 10*) при повороте координатной
системы, определяемом углами Эйлера ai, в, а2 (рис. 1).
19*. Показать, что матрица бесконечно малого поворота системы координат а
может быть записана в виде а = 1+е, где е - антисимметричная матрица (е"к
= -?кг)- Выяснить геометрический смысл Eik-
20. Доказать, что если а - ортогональная матрица преобразования, то при
ее транспонировании получается матрица обратного преобразования.
21. Показать, что матрица преобразования базиса координатной системы
при отражении или повороте и матрица преобразования компонент вектора
совпадают.
22*. Доказать, что при поворотах или отражениях четного числа
координатных осей определитель преобразования равен +1, а при отражениях
нечетного числа координатных осей этот определитель равен -1.
23. Показать, что если в некоторой системе координат соответствующие
компоненты двух векторов пропорциональны, то они пропорциональны в любой
другой системе координат. (Такие векторы называются параллельными.)
'Преобразования, определитель которых равен +1, называются собственными;
преобразования с определителем -1 - несобственными.
18
Глава I
24*. Во всех декартовых системах координат задана совокупность величин
eiki, обладающих следующими свойствами: при перестановке любых двух
индексов е**/ меняет знак; е^з = 1-
Показать, что эта совокупность е**/ образует псевдотензор III ранга
(совершенно антисимметричный единичный псевдотензор III ранга).
25. Доказать, что компоненты антисимметричного тензора II ранга при
вращениях преобразуются как компоненты вектора.
26. Записать выражения для компонент векторного произведения двух
векторов и вихря вектора с помощью тензора е"*/. Указать, как
преобразуются эти величины при вращениях и отражениях.
27. Доказать равенства:
Ю ^ikl^lmn = fiimfikn ^in^kmi
б) ^ikl^klm = 2(5im¦
28. Записать в инвариантной векторной форме:
*0 ?inl?irs?lmp?stp&nQ'rbmCtl
б) ^¦inl^krs^lmp^stpO'rO'rfikb.jCt^'rn'
29. Показать, что Т^сг^б* - Tikakh = • (а х Ь), где Т"* - про-
извольный тензор II ранга, а и b - векторы, ш - вектор, эквивалентный
антисимметричной части Ti*.
30. Представить произведение [а • (Ь х с)] [а' • (Ь' х с')] в виде
суммы членов, содержащих только скалярные произведения векторов.
Указание. Применить теорему об умножении определителей или
воспользоваться псевдотензором Ш ранга еш (см. задачу 24*).
31*. Показать, что единственным вектором, компоненты которого одинаковы
во всех системах координат, является нулевой вектор; что всякий тензор II
ранга, компоненты которого одинаковы во всех системах координат,
пропорционален tf**; тензор III ранга - ем; тензор IV ранга - (6ikS[m +
"Ь ^im.fikl + fiil fikm ) ¦
32*. Пусть п - единичный вектор, все направления которого в пространстве
равновероятны. Найти средние значения его компонент и их произведений: щ,
щпк, ЩПкЩ, щпкщпт, пользуясь трансформационным свойством искомых величин,
а не прямым вычислением соответствующих интегралов.
33. Найти усредненные по всем направлениям значения следующих
выражений: (а • п)2, (а • п)(Ь • п), (а • n)n, (а х n)2, (а х п)-(Ь х п),
(а • п)(Ь • п)(с • n)(d • п), если п - единичный вектор, все направления
которого равновероятны, а, Ь, с и d - постоянные векторы.
§ 2. Векторный анализ УКАЗАНИЕ. Воспользоваться результатами предыдущей
задачи.
19
34. Составить все возможные независимые инварианты из полярных векторов
п, п' и псевдовектора 1.
35. Какие независимые псевдоскаляры можно составить из двух полярных
векторов п, п' и одного псевдовектора 1? Из трех полярных векторов пь п2,
п3?
§ 2. Векторный анализ
В произвольной ортогональной системе координат q\, q2, qz квадрат
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 177 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed