Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
электромагнитные волны.
Типы волн, которые могут распространяться в данном волноводе,
определяются путем решения уравнений Максвелла при соответствующих
граничных условиях. Волна, бегущая вдоль оси волновода, описывается
функциями
E(r, t) = &(х, у)е"кг-ш^, H(r, t) = Ж(х, y)ei(kz~^.
Здесь и> - частота волны, к - составляющая волнового вектора в
направлении оси волновода. Величину к называют также постоянной
распространения.
В случае волн электрического типа (.Е-волн) = 0, a §z удовлетворяет
уравнению
Д?, + х3*, = О, (IX.5)
где х2 = ш V1 - к2, х - поперечная составляющая волнового вектора,
с
ечц - проницаемости диэлектрика, заполняющего волновод, и граничному
условию
gz = О (IX.6)
на стенке волновода.
В случае волн магнитного типа (if-волн) §z = 0, а Жг является решением
уравнения "
= О, (IX.7)
удовлетворяющим граничному условию
§т=0 или ^=0 (IX.8)
дп
на стенке волновода.
Электромагнитные колебания в ограниченных телах 147
В уравнениях (IX.5) и (IX.7) Д - двумерный оператор Лапласа. Граничные
условия (IX.6) и (IX.8) строго справедливы только для волноводов с
идеально проводящими стенками.
Поперечные составляющие векторов $ и Ж могут быть выражены с помощью
уравнений Максвелла через продольные составляющие этих векторов.
Е- или Я-волна заданного типа (т. е. с определенным значением к) может
распространяться в волноводе с односвязной формой сечения только в том
случае, если ее частота больше некоторой граничной частоты uiq.
л
Соответствующая "длина волны в вакууме" Ао = - порядка линейного
размера сечения волновода. При и < а>о постоянная распространения к
становится чисто мнимой, поэтому распространение волны невозможно. Однако
и при и > uq к в общем случае комплексно.
Это связано с тем, что стенки волновода имеют конечную проводимость,
поэтому в них происходит диссипация энергии и электромагнитная волна
затухает по закону e~az. Коэффициент затухания а (мнимая часть к) равен
отношению энергии, диссипируемой в единицу времени в стенках волновода на
единице его длины, к удвоенному потоку энергии вдоль волновода. В случае,
когда поверхностный импеданс С = С + К" стенок мал, можно получить
приближенные выражения коэффициента затухания для S-волн:
< fmpdi
2хкс f\S,('dS
и для Я-волн:
с*2?
" = яьГ-------------J------------------¦ <КЛ0)
Здесь Sz и 3№z - компоненты полей, вычисленные при ? = 0 (т. е. в
предположении идеальной проводимости стенок волновода), dl - элемент
контура поперечного сечения волновода, dS - элемент площади этого
сечения.
510. Определить типы волн, которые могут распространяться в
прямоугольном волноводе с идеально проводящими стенками (длины сторон а,
Ь). Найти для них закон дисперсии и конфигурации полей (т.е. зависимость
компонент поля от координат).
511. Определить коэффициенты затухания а разных типов волн в
прямоугольном волноводе. Поверхностный импеданс стенок волновода С задан.
148
Глава IX
512. Бесконечно протяженный диэлектрический слой заполняет в вакууме
область - а ^ х ^ а и имеет проницаемости ей д. Показать, что такой слой
может действовать как волновод (для этого нужно, чтобы поле бегущей
электромагнитной волны концентрировалось, в основном, внутри слоя).
Определить типы волн, которые могут распространяться в таком волноводе.
Ограничиться случаем, когда векторы поля не зависят от координаты у.
513. Диэлектрический слой с проницаемостями е, ц, заполняющий область 0
^ х ^ а, нанесен на поверхность идеального проводника. В области х > а -
вакуум. Какие типы электромагнитных волн с амплитудой, убывающей при
удалении от слоя, могут распространяться вдоль слоя? Сравнить возможные
типы волн с системой волн, полученной в предыдущей задаче.
514. Найти возможные типы волн в круглом волноводе радиуса а, считая его
стенки идеально проводящими. Определить граничную частоту и>о для такого
волновода.
515. Используя результат предыдущей задачи, найти коэффициенты затухания
а разных типов волн в круглом волноводе. Поверхностный импеданс стенок ?
задан.
516. Определить фазовую vv и групповую vg скорости волн в прямоугольном
и круглом волноводах с идеально проводящими стенками. Построить их
зависимость от А = Щр-.
517. Определить фазовую vv и групповую vg скорости волн в волноводе
геометрическим методом. Для этого рассмотреть простейшую волну типа Ню в
прямоугольном волноводе, разложить ее на плоские волны и исследовать
отражение этих волн от стенок волновода.
518. Исследовать структуру поперечной электромагнитной волны в идеально
проводящей коаксиальной линии (большой и малый радиусы соответственно b и
а). Подсчитать средний поток энергии 7 вдоль линии. Рассмотреть
предельный случай одиночного идеально проводящего провода.
519. Определить возможные типы непоперечных электромагнитных волн в
коаксиальной линии с идеально проводящими стенками (радиусы а и b > а).
520. Определить коэффициент затухания а поперечной электромагнитной
волны в коаксиальной линии. Заданы радиусы а, b > а и поверхностный
