Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
во всех тех случаях, когда в данном выражении встречаются два одинаковых
индекса. В соответствии с этим правилом, равенства (1.1) запишутся так:
А^ = ааАк.
Тензором II ранга в трехмерном пространстве называется девятикомпонентная
величина 7** (i,k = 1,2,3), преобразующаяся при поворотах координатной
системы следующим образом:
Т'к = аиактТы (1-2)
(сумма по I, тп). Аналогично тензор s-ro ранга в пространстве трех
измерений определяется законом преобразования:
. .г = &ii'Olkk' - - - Otrr'Ti'k'l'. . .г'• (1-3)
В этом равенстве величины Т имеют по s индексов.
14
Глава I
Величины, преобразующиеся как вектор при поворотах координатной системы,
могут двояко вести себя при инверсии системы координат (преобразование х'
= -х, у' = -у, z' = -z). Те векторы, компоненты1 которых при инверсии
координат меняют знак, называются полярными векторами, или просто
векторами. Векторы, компоненты которых не меняют знака при инверсии
системы координат, называются псевдовекгорами, или аксиальными векторами.
Примером аксиального вектора может служить векторное произведение двух
полярных векторов. Аналогично тензор s-ro ранга называется просто
тензором, если его компоненты преобразуются при инверсии как произведения
s координат, т. е. умножаются на (-I)8, и псевдотензором, если его
компоненты умножаются на (-l)s+1.
Таблица коэффициентов преобразования
называется матрицей преобразования. Определитель, элементы которого
совпадают с элементами некоторой матрицы, называется определителем этой
матрицы:
Суммой двух матриц а + 0 называется такая матрица 7, элементы которой
равны суммам соответствующих элементов матриц-слагаемых:
Произведением двух матриц а/? называется такая матрица 7, элементы
которой получаются из элементов перемножаемых матриц озд и /?** по
правилу:
(суммирование по /). Матрица 7 описывает такое преобразование, которое
получается при последовательном выполнении преобразования сначала с
матрицей 0, а затем с матрицей а.
Единичной матрицей называется матрица вида
(1.4)
ац ai2 <*13
|а| = <*21 0-22 <*23
<*31 <*32 <*33
(1.5)
'lik - <*ifc "Ь Pile-
(1.6)
Ък = ОсиЙк
(1.7)
(1.8)
1 Мы не делаем различия между ковариантными и контравариантными
компонентами векторов и тензоров (см., например, [107]), так как оно
несущественно для вопросов, рассматриваемых в этой книге.
§1. Векторная и тензорная алгебра 15
Она описывает тождественное преобразование (А' = Ai). Элементы единичной
матрицы обозначаются символом бцс'.
Чо
а.")
Матрица вида
1 при i = к,
0 при i ф к.
'"1 0
0 "2 0
.0 0 "3/
2= 0 а2 0 (1.10)
называется диагональной матрицей.
Если элементы матрицы удовлетворяют условиям
<Xik<Xil = Ski, (1-11)
то она называется ортогональной.
Матрица а 1 , удовлетворяющая условиям
аа~1=а~1а= 1, (1.12)
называется обратной матрице ". Она описывает обратное преобразование, т.
е. если А[ = aikAk, то Ак = а^А'{. ^
Матрица а, которая получается из а заменой строк на столбцы, называется
транспонированной:
Л /"11 "21 "31 \
" = I "12 "22 "32 I , Sj*; = акi. (1.13)
\"13 "23 "зз/
1. Два направления пип' определяются в сферической системе координат
углами 1?, а и •&', а'. Найти косинус угла в между ними.
2. Доказать тождества:
а) (А х В) • (С х D) = (А • С)(В • D) - (А • D)(B •
С);
б) (А х В) х (С х D) = [А • (В х D)]C - [А • (В х C)]D =
= [А • (С х D)]B - [В • (С х D)]A.
3. Во всех декартовых системах координат задана совокупность трех
величин at (г = 1,2,3) и известно, что = inv относительно
поворотов
и отражений. Доказать, что если 6* - произвольный вектор (псевдовектор),
то at - также вектор (псевдовектор).
16
Глава I
4. Доказать, что если а" = в каждой системе координат и Тц. - тензор
II ранга, а 6* - вектор, то а* - тоже вектор.
5. Доказать, что есть тензор II ранга.
ОХк
6. Доказать, что если Тц, - тензор II ранга и Рц, - псевдотензор
II ранга, то TikPik - псевдоскаляр.
7. Показать, что симметрия тензора есть свойство, инвариантное
относительно вращении, т. е. тензор, симметричный (антисимметричный) в
некоторой системе отсчета, остается симметричным (антисимметричным) и во
всех системах, повернутых относительно исходной.
8. Показать, что если тензор 5^ - симметричный, а тензор
антисимметричный, то AikSik = 0.
9. Доказать, что сумма диагональных компонент тензора II ранга
является инвариантом.
10*. В некоторых случаях бывает удобно вместо декартовых компонент
вектора ах, ау, az рассматривать его циклические компоненты, определяемые
формулами a±i = =(ах ± iay), ао = а*. Выразить скалярное
V2
и векторное произведения двух векторов через их циклические компоненты.
Выразить также циклические компоненты радиуса-вектора через шаровые
функции1 Лежандра.
11*. Найти компоненты тензора е~?, обратного тензору ?ik- Рассмотреть, в
частности, случай, когда ?ik является симметричным тензором, заданным в
главных осях.
12. Пусть во всех координатных системах компоненты вектора а линейно
выражаются через компоненты вектора Ь: а* = ?%кЬк- Доказать, что
