Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
199. Найти коэффициенты деполяризации для сплюснутого проводящего
эллипсоида (а = b > с). Рассмотреть, в частности, случай диска.
200*. Диэлектрический эллипсоид с полуосями а, Ь, с находится в
однородном внешнем поле с напряженностью Ео. Диэлектрическая
проницаемость эллипсоида е\, а окружающего его однородного диэлектрика
ег. Найти потенциал ip результирующего электрического поля
(воспользоваться указанием к задаче 195*). Найти напряженность Е
электрического поля внутри эллипсоида, а также потенциал <р2 вне
эллипсоида на больших от него расстояниях, выразив его через составляющие
поляризуемости эллипсоида по главным осям.
201. Эллипсоид вращения с диэлектрической проницаемостью ?i находится во
внешнем однородном поле Ео в однородной диэлектрической среде е2. Найти
энергию U эллипсоида в этом поле и приложенный к нему вращательный момент
N. Рассмотреть также случай проводящего эллипсоида вращения.
202*. Показать, что при сообщении проводящей жидкой сферической капле
достаточно большого заряда капля теряет устойчивость. Найти это
критическое значение заряда q^. Радиус капли R, коэффициент
поверхностного натяжения а.
УКАЗАНИЕ. Сравнить энергию сферической капли с энергией деформированной
капли, имеющей форму вытянутого эллипсоида вращения. Площадь поверхности
такого эллипсоида
S = 2жЬ2 Н-1^== arccos (a>b = c).
у/а2 - b2 а
203*. Однородное электрическое поле Ео || z в полупространстве z < 0
ограничено заземленной проводящей плоскостью z = 0 с круговым отверстием
радиуса а. Найти поле ip во всем пространстве. Рассмотреть, в частности,
поле на больших расстояниях за отверстием (в полупространстве z > 0).
УКАЗАНИЕ. Воспользоваться сплюснутыми сфероидальными координатами (см.
задачу 65*) с с=0. Искать решение во всем пространстве в виде ip = -
EqzF(^).
60
Глава III
204. Найти распределение зарядов а на проводящей плоскости в предыдущей
задаче.
205*. Внутри клиновидной области пространства, ограниченной двумя
пересекающимися под углом /3 заземленными проводящими полуплоскостями О А
и ОВ, в точке N(tq) находится точечный заряд q (рис. 11).
Цилиндрические координаты заряда (го, 7,0); ось z направлена вдоль ребра
клина, азимутальный угол а отсчитывается от грани О А. Доказать, что
потенциал <p(r, a, z) может быть записан в виде
М
А
Рис. 11
ОО
<p(r,a,z) = j ос) cos kz dk,
о
где
f 00
кш {kr0)Inтг (Ат) sin
При Г < Г о,
У2 In? (кг0)Ктт (kr) sin
ln=l 0 0
При Г > Го,
Iп7г и Кпп - цилиндрические функции.
УКАЗАНИЕ. Воспользоваться формулой (П 1.11) и приложением 3.
§ 3. Специальные методы электростатики
61
206. Доказать, что потенциал поля точечного заряда в клиновидной
области, найденный в предыдущей задаче, можно представить в виде
<p(r, a, z) =
(3\/2гг0
ОО
/
sh^
"и __*¦(<* - 7)
ch__c°s___
sh^
ch
7ГС
COS
7г(а + 7)
где
+ г2 + z2
2гго
ch rj =
Указание. Воспользоваться формулами:
ОО
J Kv (кг) I" (кго) cos kz dk =
г] > 0.
ОО
!
dc
\/ch ? - ch г)'
d?
2y/2rro J %/ch? - ch rj
= l(-
2 ' 1 - 2p cos x + p'
207. Найти поле <p заряда q, находящегося вблизи проводящей
полуплоскости а = 0 в точке го с цилиндрическими координатами (го, 7, z =
0).
Указание. Воспользоваться результатом задачи 206. Для вычисления инте-
С Т7
града сделать подстановку ch - = ch - ch и, где 0 < и < оо.
208. Найти распределение а поверхностного заряда вблизи ребра клина с
двугранным углом /3 (угол отсчитывается вне проводника). Клин находится в
поле произвольным образом распределенного заряда.
Указание. Сначала рассмотреть, случай, когда вблизи клина находится один
точечный заряд, воспользовавшись результатом задачи 205*, разложениями
(П3.6) и формулой
ОО
J Kl/(kp)kl/coskzdk = 2,/-1^r(v+^j
(,p2+z2r+1/2
62
Лекция 5
Решение Блоха (5.6) представляет собой произведение обычной плоской волны
exp(ifc ¦ г) на периодическую функцию Uk{r) с периодом решетки. В целом
эту функцию можно считать модулирующим множителем плоской волны.
Учитывая, что р -> перепишем уравнение Шредингера (5.5) в
виде
VV(r) + ^(?-[/(r))^(r) = О,
/г
или
v2<pk(r) +f(r)v>k{r) = 0. (5.7)
Таким образом, исходное уравнение Шредингера представляет собой линейное
дифференциальное уравнение второго порядка с периодическим коэффициентом
при искомой функции. Общее решение уравнения типа (5.7) было получено еще
в 1883 г. математиком Флоке. Он получил решение в виде (5.6), т. е. в
форме функций, которые сейчас называются одномерными функциями Блоха.
Доказательство.
Рассмотрим доказательство теоремы в одномерном случае. Предположим, что
имеется бесконечная кристаллическая цепочка, содержащая N ионов. Реально
ее можно представить в виде кольца, причем первый ион и N-й ион
совпадают. Тогда должны выполняться циклические граничные условия:
4>k{r + Na) = Vk(r). (5.8)
Пусть Тп - трансляционный оператор, действующий только на координату г.
Определим его так:
Тп(г) = (г+ па), (5.9)
где п = 0, ..., N. Тогда действие этого оператора на волновую функцию,
