Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
радиус внутренней обкладки а. Найти силу F, действующую на третий
проводник.
192*. Проводник заряжается путем последовательных подсоединений к
разрядному шарику электрофора. Шарик электрофора после каждого
подсоединения вновь заряжается, приобретая при этом заряд Q. При первом
подсоединении на проводник с шарика переходит заряд q. Какой заряд
получит проводник после очень большого числа подсоединений?
§ 3. Специальные методы электростатики
В этом параграфе содержатся задачи, относящиеся к различным разделам
электростатики, более трудные в математическом отношении. Многочисленные
методы решения задач электростатики изложены в ряде книг ([46], [66],
[69], [93], [100]) в настоящем сборнике иллюстрируются лишь некоторые из
этих методов: метод криволинейных координат (для случаев эллиптических
поверхностей и поверхностей двух сфер), методы изображений, интегральных
преобразований и инверсии. Схема их применения разъясняется
непосредственно в решениях задач (более подробно, например, в задачах
193*, 195*, 205*, 209*, 211*, 215*). Изложим здесь кратко только метод
инверсии.
Преобразованием инверсии называется такое преобразование пространства,
при котором каждая точка его переходит в точку, сопряженную относительно
некоторой, надлежащим образом выбранной сферы инверсии радиуса R. Если
сферическими координатами (с началом в центре сферы
§ 3. Специальные методы электростатики
57
инверсии) первоначальной точки являются г, т9, а, то сферическими
координатами инвертированной точки будут г' = В?/г, •&, а. В векторной
форме
г' = ^ или r=?f. (111.32)
г г
Преобразование инверсии обладает свойством конформности. При инверсии
сфера преобразуется в сферу. Если, в частности, центр инверсии лежит на
преобразуемой сфере, то последняя преобразуется в плоскость (и наоборот).
Уравнение Лапласа инвариантно относительно преобразования инверсии: если
функция <р(г) является решением уравнения Лапласа в исходном
пространстве, то
/(г') = j^(r) = ^(gr') (Ш.ЗЗ)
представляет собой решение уравнения Лапласа в инвертированном
пространстве.
Основная задача, решаемая методом инверсии, формулируется так. Нужно
найти поле системы заземленных проводников и точечных зарядов находящихся
в точках г*. Потенциал на бесконечности V = const. Для решения задачи
произведем инверсию с таким расчетом, чтобы поверхности проводников
приобрели более простую форму.
При этом точечные заряды qt заменяются зарядами
4i = (ш-34)
находящимися в точках
г'=Д2
Кроме того, в точке г' = 0 появляется точечный заряд
9о = -RV. (111.35)
В инвертированной системе решаем электростатическую задачу - находим
потенциал <р'(г'). Потенциал <р(г) можно затем получить с помощью
обратного преобразования. Разумеется, можно и наоборот - по известному <р
находить <р'.
193*. Проводящий эллипсоид с зарядом q и полуосями а, 6, с помещен в
однородный диэлектрик с проницаемостью е. Найти потенциал <р, а также
емкость эллипсоида С и поверхностную плотность заряда а на его
поверхности.
58
Глава III
УКАЗАНИЕ. Воспользоваться эллипсоидальными координатами (см. задачу 64*).
Искать потенциал в виде <?(?)¦
194. Исходя из результатов предыдущей задачи найти потенциалы и емкости
вытянутого и сплюснутого эллипсоидов вращения. Рассмотреть частные случаи
тонкого длинного стержня и тонкого диска. Емкость С и потенциал <р
вытянутого эллипсоида вращения найти также, используя результат задачи
75.
195*. Проводящий эллипсоид с зарядом q находится в пустоте в однородном
внешнем поле, напряженность Ео которого параллельна одной из осей
эллипсоида. Найти потенциал ip полного электрического поля.
УКАЗАНИЕ. Воспользоваться эллипсоидальными координатами задачи 64*.
Граничные условия на поверхности эллипсоида (( = 0) могут выполняться
только, если зависимость потенциала ip', вызванного наведенными зарядами,
от гу, будет такая же, как у внешнего поля:
196. Напряженность поля в плоском конденсаторе равна Eq. На заземленной
обкладке имеется проводящий выступ в форме половины вытянутого эллипсоида
вращения, ось симметрии которого перпендикулярна к плоскостям обкладок.
Расстояние между обкладками велико по сравнению с размерами выступа.
Найти электрическое поле ip в конденсаторе. Определить, во сколько раз
максимальное значение напряженности поля Етах и превосходит Eq}
197. Проводящий незаряженный эллипсоид находится во внешнем однородном
поле Ео, ориентированном произвольно по отношению к его осям. Найти
полное электрическое поле ip. Рассмотреть поле на больших расстояниях от
эллипсоида, выразив его через коэффициенты деполяризации:
<р = <po(?,v,Q ¦ НО-
ОО
ОО
оо
о
1 Результат задачи поясняет принцип работы громоотвода.
§ 3. Специальные методы электростатики
59
198. Найти выражения коэффициентов деполяризации, введенных в предыдущей
задаче, в случае вытянутого эллипсоида вращения (а > b = = с).
Рассмотреть частные случаи очень вытянутого эллипсоида (стержня) и
эллипсоида, близкого к шару.
