Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
3 с
для силы самодействия выражение:
F = -m'0v.
Таким образом, сила самодействия частицы, если пренебречь запаздыванием,
совпадает с силой инерции.
790. Сила, действующая на элемент заряда de2 со стороны элемента de 1,
определяется ускорением v последнего в момент времени t':
dF(t) = -dei de2 [v _ r0(r0 . v)] I
cJr t=t~c
Разлагая ускорение v по степеням t' - t = - получим:
Интегрирование по элементам dei, de2 даст (см. предыдущую задачу) искомую
силу самодействия:
§ 3. Взаимодействие заряженных частиц с излучением
571
Второй член в правой части представляет собой силу лучистого трения. Он
не зависит от структуры частицы и в предельном случае точечной частицы не
изменяет своего вида. Собственная энергия Wq и, следовательно,
электромагнитная масса то в этом предельном случае обращаются в
бесконечность. Неучтенные члены порядка (t' - t)n, где п > 2, очевидно,
пропорциональны Гд-1 (го - радиус частицы) и в пределе точечной частицы
исчезают.
791. 10-^ сек.
4е
Сделанные предположения о характере движения электрона выполняются, если
потеря энергии за период г обращения по орбите мала по сравне-
dt
v тс2
нию с полной энергией электрона, т. е. т
(го - классический радиус электрона). Это условие начинает нарушаться
только на очень малых расстояниях порядка 10"13 см, на которых вообще
неприменима классическая электродинамика, так как она в этой области
внутренне противоречива (см. [65] § 75).
Следовательно, результат задачи - очень малое время жизни атома -
определенно указывает на неправильность классических представлений о
движении электрона в атоме (представление о траектории и т. п.). В
процессе преодоления этой и других фундаментальных трудностей
классической физики и была создана квантовая механика.
792. *(,)=mc*ctbggt+ilng±^].
При t -> оо, 8(t) -* тс2, т. е. частица останавливается.
Радиус орбиты можно выразить через §(?) по формуле
Г (О = % =
При t -* оо, r(t) -" 0, т. е. частица движется по закручивающейся
спирали.
793. <?кр = тс2 У7^^, где г0
794. Уравнение движения гармонического осциллятора при учете силы
лучистого трения имеет вид
572 Глава XII
Уравнению (1) соответствует кубическое характеристическое уравнение
*3- <2>
пит
Условие малости силы лучистого трения по сравнению с квазиупругой силой
позволяет решить (2) последовательными приближениями, отбросив в нулевом
приближении правую часть; при этом к и ко = ±йио- В первом приближении,
подставив в правую часть (2) вместо к значение ко и введя обозначение
1-1-4 <*>
о mcr
получим к ~ к\ = ±iu>o - Можно ограничиться одним из решений, например,
тем, которому соответствует знак "-":
г = гое 2 • е-*"0* (t > 0). (4)
Это решение справедливо при 7 <с шо и имеет характер затухающих
колебаний.
Энергия осциллятора убывает как квадрат модуля его амплитуды:
W = W0e(5)
Величину i естественно называть временем жизни возбужденного состояния
осциллятора.
Напряженность электрического поля излучения пропорциональна г, так что
+оо
Е =
[ Ъше~*шг du> = \ Еое 1и,°'е '>2 при t > 0, J I П при t < 0
Ж [ 0~( 2+iu°)t+iut И* - ____________
7г/ 27r[t(w-wto)-|]
Отсюда находим спектральное распределение интенсивности излучения: dlu
/о7 1
du> 2тг (о; - wo)2 + 72/4'
(6)
§ 3. Взаимодействие заряженных частиц с излучением 573
+оо
где Iq = / dlu - полная интенсивность излучения. Спектральное распре-
-оо
деление (6) имеет характер резонансной кривой (рис. 130).
Рис. 130
Ширина спектральной линии характеризуется величиной Aw = 7. Естественная
ширина линии очень мала ^на графике длин волн она равнялась бы ДА = Д^р =
= 1,17 • 10_12сл<^.
Если считать, что излучение происходит не непрерывно, а дискретными
порциями (это предположение, очевидно, выходит за рамки классической
электродинамики), то неопределенность энергии фотонов А§ = hAui = h7
связана со временем жизни возбужденного состояния т = ^ соотношением
Аё-т = Н. (7)
Это - частный случай весьма общего квантовомеханического соотношения
неопределенности для энергии-времени.
(w-wo\2 /-----
} /2 кТш%
-т- - ^ос , где 7д = \ ^ - допплерова ширина
у тпс
спектральной линии, а через /о обозначена интенсивность при w = wq.
Ширина линии зависит от температуры и может служить мерой температуры
газа.
574 Глава XII
796. ^ ^---------1-----где I = /°°dlu.
* (ш-т)2 + ^
797. Если волна поляризована вдоль оси х, то
где
е2и&
1
3 тс3
Энергия, поглощенная осциллирующим электроном,
+оо оо
ДЖ= / eEx(t)x(t)dt=^f \\ЕХШ\2 ^ 2 2(Lj,'
J ш J (и$ -и2У +и2у
-оо О
так как (х)ш = -шхш. Подынтегральная функция в последнем выражении
описывает спектральное распределение интенсивности поглощения. Из вида
этой функции следует, что мерой ширины линии поглощения является величина
7, как и в случае испускания. Так как, по условию, ширина спектрального
распределения группы велика по сравнению с естественной шириной линии 7,
то
ОО
27Ге2!^ |20, ,2Л, [ ______________
(2а>о?)2 +^о72'
-и>0
где ? = lj - ljо. Нижний предел можно заменить на -оо, так как 7 <С а>о-В
