Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
566
Глава XII
где еа/з7 - антисимметричный единичный псевдотензор (см. задачи 24 и 26),
по повторяющимся индексам выполняется суммирование. Компоненты векторного
потенциала Ар выражаются через компоненты квадрупольного момента Q/Зе,
определяемые формулой (XII. 19)
Воспользуемся полярной системой координат с полярной осью направленной
вдоль падающего потока и с полюсом в точке, где находится частица с
зарядом е2 и массой т2. Усреднение должно выполняться при фиксированном
значении составляющей пг = п3 = cos д (д - направление излучения). Легко
убедиться, что
Таким образом,
и
= -US
QfieQfi'e1 ^а/3'7^а/3'7/ Т1^Т1?7ly7lef.
d?l 167ГС5
щпк = - гг|),
\
>
(2)
щ = щпкщ = О,
где индексы г, к, I принимают значения 1, 2. Воспользовавшись (2), а
также формулой
= <5/3/3' ^7-у бр^'б^р*,
получим
§ 2. Электромагнитное поле движущегося точечного заряда 567
Подставляя (3) в (1), найдем окончательно:
^ = А + BP2(cosi9) + CP4(cosi9), (4)
где Р-2, Ра - полиномы Лежандра (см. приложение 2),
ОО ОО
А = 120с5 I I- (Qp0)2]sdsdt,
-оо О оо оо
В = i6gc5 J J3Q/3/3' + 2(<Эдо)2 + 9(3^3 - 6Q33Qpp\s ds dt,
-оо 0
OO OO
^ = 280c(r) / /+ 2^3 - (Qpp)2-
-oo 0
(5)
- 35<Эзз + 10<Эзз<9/з/з]в^^-.
786. Полное эффективное излучение
=/жа
Используя формулы (4) и (5), полученные в предыдущей задаче, можно
написать (см. приложение 2):
ОО ОО
х = 4тгА= ^ J J[3Q2a0 - g^]s ds dt. (1)
-00 О
Обозначим через ха декартовы компоненты относительного радиуса-вектора
частиц, а через va = ха - декартовы компоненты относительной скорости
частиц. Тогда, учитывая уравнение относительного движения частиц, найдем
" 2е2ха 2е2 rxa - 3xavr
Ха = ------Хс - -
о 1 ~а о
тг° т г°
где
vr = г.
568 Глава XII
Подставляя эти выражения в формулу (1) и вводя азимутальную компоненту
относительной скорости частиц va (v2 = v2 + v2), получим:
ОО ОО " "
х_ 4тге6 ' ' ""
j j (2)
15 ш2с5
-оо О
Вследствие сохранения энергии и момента импульса, v2 = vfi - и va =
Выполняя в (2) интегрирование (при этом следует заменить интегрирование
по dt интегрированием по dr, согласно формуле dt = ^ =
- , причем интегрировать можно в любом порядке), получим окон-
Vv2 - v? чательно:
4тг е4уо
9 тпс5
§ 3. Взаимодействие заряженных частиц с излучением
787. Импульс поля движущейся частицы
G = JgdV,
где*=4ЬЕхН' а интеграл берется по всему пространству. Магнитное
р
поле движущейся частицы Н = v х так как в системе покоя частицы (S')
магнитное поле отсутствует. Отсюда
g=^[v?2-E(vE)|.
Атгс
С помощью формул (Х.25) находим:
Е' Е'
ЕХ = Е'Х, Еу= у у , Ег= '
y/l=p' ' у/1=р
(ось х направлена вдоль v). Элемент объема dV = dV'y/l - (З2 (вследствие
лоренцова сокращения). Таким образом,
G =---------У [(Е'2 + Е'2) dV' =--------------У • § ( Е'2 dV'. (1)
47гс2у/1 - /З2 J 47гс2\/1 - (З2 ЗУ
§ 3. Взаимодействие заряженных частиц с излучением 569
Последнее преобразование следует из сферической симметрии поля в системе
S'.
Если принять, что масса покоя частицы имеет чисто электромагнитное
происхождение, т. е. представляет собой массу ее электрического поля,
определяемую соотношением Эйнштейна W' = то с2, то она должна равняться
m° = ^-ihIE'2dV'- <2>
При этом импульс поля должен бы быть равен -Д==:, однако из формулы (1)
видно, что это не так1. Импульс поля зависит от скорости v точно так же,
как это должно быть в случае частицы:
G = (3)
Но "масса" m'Q = |то ф то не совпадает с массой покоя частицы то,
определяемой формулой (2).
Наличие коэффициента | в выражении G означает, что энергия и импульс
электромагнитного поля частицы не образуют 4-вектора и не могут быть
отождествлены с ее энергией и импульсом.
Отметим, что определяемая формулой (2) электромагнитная масса обращается
в бесконечность в случае точечной частицы.
788. Wm = / Я2 dV = ^ • m°v , где величина т'0 определена
871- 2 у/1-/р u
в решении предыдущей задачи.
Полная энергия электромагнитного поля частицы
не обнаруживает зависимости от скорости ~^=, которая должна иметь место
для энергии частицы (ср. с задачей 787).
т. пяпия
%/п^
ТП <?
Энергия поля при таком предположении должна бы бьггь равна - т но
как показано
в следующей задаче это также не имеет места.
570 Глава XII
789. Отбросим члены порядка ^ и выше, и рассмотрим действие некоторого
элемента de\ на другой элемент de2. Кулонова часть электрического поля
сферически симметрична и не дает вклада в силу самодействия;
квазистационарное магнитное поле тоже не дает вклада. Таким образом,
достаточно рассмотреть только ту часть напряженности dE электрического
поля элемента de 1, которая зависит от ускорения. На элемент de2
действует сила
dF = -de2dE= _ Г0(г0 • v)],
err
где го = ?, г - радиус-вектор, направленный от элемента de 1 к элементу
de2. На частицу в целом действует сила
F = /'iP = -r?*'
где Wo = ^ f ^eide2 _ ^gpp^ электромагнитного поля покоящейся частицы;
множитель 4/3 получается при интегрировании по направлениям го.
Определив массу покоя частицы как т'0 = (см. задачу 787), получим
