Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
электронов в сгустке и не может быть указано в общем виде.
778. Выберем начало координат в центре инерции системы зарядов. Тогда
электрический дипольный момент системы
p = ein + e2r2=K^-^)r, (1)
ГП\ГП2
где г = п - г2, \i = --т-г" mi + m2
562 Глава XII
Поскольку отношения е/т зарядов различны, то р / 0 и система будет
излучать в основном как электрический диполь <С 1). Мгновенная
интенсивность
Согласно уравнению движения зарядов, fir = б1б_2Г, так что I
г
2&1&2 ( €l С2 ^ 1 тт ~
- -±-- ( ---------- 1 При вычислении средней по времени
интенсив-
3с V mi m2 ' г
- 1 Т
ности излучения I = - JI dt' заменим интегрирование по t' интегрирова-
¦* о
fir2 da . т,
нием по углу а согласно уравнению at = - (К - момент
импульса
А
системы) и воспользуемся уравнением траектории. В результате получим:
7= 2l(IL - е2 |е1е2|3|"^|2 / 2|<?|А:2\
3c3Vm! m2' К5 V fieje$ *
779. Ж=_М?!1(^._
dt Зс3 Vmi m2' К
780. Поступая так же, как при решении задачи 778, запишем вторую
производную дипольного момента в виде:
(1)
^т1 т2' г°
Вычисление А не вызывает затруднений. Для вычисления В нужно знать pz -
проекцию р на направление первоначального движения рассеиваемых частиц -
в виде функции координат г, а (полярные координаты в плоскости
относительного движения частиц). При этом следует учитывать, что в
уравнении траектории относительного движения - 1 + ecosa = a(e2 -
- 1 )/г, угол а отсчитывается от оси симметрии (ось z') траектории.
Таким образом, у' = г sin a, z' = г cos а. Угол между осями z и z' равен
7Г - ао
(cosao = , поэтому z = -z' cos ао-г/ sin ао = -г ^ cos а+ ? * sin а^.
§ 2. Электромагнитное поле движущегося точечного заряда 563
Используя (1) и заметив, что sin а - нечетная функция, получим:
оо +оо ОО +00 о О О
Я,, , , ,/ei ео \2 f f cos2 а + (е2 - 1) sin а , ,
рх&8<Ь = е1е2(щ-щ) J J -----------------------^-------------dtsds.
О - оо 0 - оо
С помощью уравнения траектории выразим cos2а и sin2а через гие
2
и сделаем подстановку ё2 = и, s ds = du. После этого выписанный интеграл
преобразуется к виду:
(я-1)*
оо \а /
2а 1
+ (-5^ + 6- - 2^ - + 2^- -
\ Г г /и ' г ' и \
i/Fo
При вычислении интеграла по du возникает логарифмический член, который
преобразуется интегрированием по частям. Для вычисления внешнего
интеграла по dr целесообразно сделать подстановку х = которая при-
1
водит этот интеграл к сумме нескольких S-функций: B(k, I) = J xfc_1 (1 -
x),-i dx _ тт 0
; r(jfc + о •
Окончательно получаем:
л 8тг (?i е2 \2 A = ~9eie2\rn В = 0.
781. В рассматриваемом приближении v = const, а траектория частицы
представляет собой прямую. Пусть движение частицы происходит в плоскости
xz параллельно оси z. В этих координатах
n = (nx,ny,nz), где пх = sin ti cos а, пу = sin ti sin a,
nz = cost?, r = (s,0,vt'), r = у/s2 + v2t'2, v = (0,0, v).
564 Глава XII
с2 D г?
Из известной формулы v = где 8 = ^ ^ = с' П0ЛУ"
. с2р с2р<? " . eie2r
чим v = -----------. Согласно уравнению движения частицы, р = --.
& 8 г
Закон сохранения энергии требует, чтобы 8 + = const. Дифференцируя
последнее равенство по t', получим:
•в е\e2r eie2r-v
г2 г3
так что
V =
Подставив найденные выражения в (XII.26), получим:
dAWn _ ejelc4 \д2 [(1 _ ^)2 _п2{1_ 02)] х
dfi 4тгс3<?2(1 -/Зп2)5
ОО
X
-оо
Интегрирование дает:
dAWn eie!(l - 02)
ОО ОО N
/ (s2 + U'2) + °2/?2(1 " ^2)2(1 " Uz)2 I (s2 + v2t'2)3 }'
-/v* -nr" *
¦ [4 - 3n2 - n2 - 6/3n2 +
dSl 32m?c3s3v(l - 0nz)5 1
+ /32(-2 + 3n2+5n2) + /34(l-n2)]. (1) В нерелятивистском пределе 0 -> 0 и
dAWn е1е2 ,, о 2 "2ч
"ЛГ 32mVA(4"3"*"n>)'
В ультрарелятивистском случае 0 и 1 и
dAW" 3efei(l-/3)
29m2c4s3sin4f
При $ ^ y/1 - 0 последняя формула несправедлива, и нужно пользоваться
точным выражением (1).
§ 2. Электромагнитное поле движущегося точечного заряда 565
784. Условие применимости формулы (XII.33) выполняется при всех частотах
ш, так как время столкновения т = 0. При рассеивании на твердой
где 1? - угол рассеяния. Угол д связан с прицельным расстоянием s со-
Найденное дифференциальное эффективное излучение не зависит от частоты.
Поэтому полное эффективное излучение
Эта расходимость объясняется тем что сфера считалась абсолютно твердой.
На самом деле абсолютно твердых тел не существует, r/Ои при больших
значениях ш найденное для dxu выражение незаконно.
785. Формулу (XII.30) для дифференциального эффективного излучения можно
записать в виде:
ле (1) усреднение интенсивности излучения должно быть произведено по всем
направлениям в плоскости, перпендикулярной к направлению потока падающих
частиц. Для выполнения усреднения удобно представить вектор-
сфере угол падения равен углу отражения, поэтому |v2 - vi|2 = 2v sin
отношением: s = a sin ^ при s ^ а. При s > а частица не испытывает
рассеяния. Отсюда получаем:
а
j 2е2 Л 2 [• 2 д с, j j 4e2a2u2 j
ахш =-------Av I sin - 27rs as aw =-----------aui.
Зтгс3 J 2 Зс3
о
ОО
0
оо оо
0 -оо
Интенсивность излучения ^ ^Н2г2, где Н = х п. В форму-
ное произведение, входящее в выражение Н, в форме На = ^ea^7A^n7,
