Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
dt' т Злг2с(1 - г>2/с2)
При в ^ ф <с 1 будем иметь
2 е4Я2
7 =
в2
*"Ч1-Й Й№) +'2]
558 Глава XII
dl_ _ е2М2 (1 -ffcosi?)2 - (1 -/32)sin2i9cos2a _ v
' dQ 47ГС3 ' (1 - /Jcosi?)6 ' 0 c'
Полярная ось направлена вдоль скорости, азимут а отсчитывается от
направления ускорения. Ушовое распределение излучения приведено на рис.
129. Излучения не происходит в направлениях, определяемых уравнением 7^1
- ^ costfj = sin i9| cos i? |. В частности, при a = 0,7г (рис. 129а),
излучения нет в направлении д = arccos^. При а = ^ (рис. 1296),
интенсивность излучения отлична от 0 при всех д.
Рис. 129
773.
dl dS е4#2/?2 1Л 2
dCl dSl dt' 87T2m2c3
2тг
(1-Г)х
07Г -m~cr [ '
J !Л -
. (1 - Р2) cos21? + (0 - sin cos a)2 x I ------------;------z:-----------
гг----------da
(1 - P sin t? cos a)5
U
<АН2Р2{1 -P2) 1 + cos2^ _ + 3y92)sin4 ^
87Г m2<? (1 - /?2 sin21?)7/2 '
где P=\.
Начало отсчета азимутального угла а, входящего в подынтегральное
выражение, выбрано так, чтобы направление вектора п характеризовалось
полярными ушами д, В ультрарелятивистском случае г> и с излучение
сосредоточивается вблизи плоскости орбиты в интервале углов Д$ " у/1 -
р2.
§ 2. Электромагнитное поле движущегося точечного заряда
559
774.
Апф -
Ann -
e/3etkRo
27гЛо
e/3etkRo
2-kRq
2тг
COS
J cosaV(nQ,_n/38ini'8inQ'W,
2тг
(1)
Jsma'ei(na'-n/3sin,'sinQ') da',
где волновой вектор k = n^, начало координат - в центре орбиты, ось z
перпендикулярна плоскости орбиты, направление к характеризуется полярными
углами •d,^;Ro - расстояние от центра орбиты до точки наблюдения. Отсюда
/jj (3enelkRii
Нпа = i-prnAn4 " г-----------ctg^J"(n/3sin д),
(2)
НП0 = -i-^nAna = ---J'(n/3 sin д).
Поляризация излучения оказывается, вообще говоря, эллиптической, с
главными осями в направлениях еа и и отношением полуосей Нп$
тт п п Л (га/? sin 1?)
и Нпа, равным р tgv-------------. Направление обхода эллипса определяет-
Jn(np sini?)
ся знаком этого отношения. При д = 0 поляризация круговая, при д = ^ -
линейная. При достаточно больших п и /3 линейная поляризация получается
также в тех направлениях, которым соответствуют нули или полюсы
функции ф-.
Jn
775. Наличие высших гармоник в спектре поля объясняется тем, что время
распространения поля между равными точками орбиты конечно и сравнимо,
вообще говоря, с периодом обращения заряда по орбите, если скорость
заряда сравнима со скоростью света с. Вследствие этого, время прохождения
через точку наблюдения поля, излучаемого частицей в течение полупериода,
когда частица приближалась к этой точке, меньше, чем время прохождения
через нее поля, излученного в течение второго полупериода. Простой
гармонической зависимости координат частицы от времени соответствует;
следовательно, некоторая сложная периодическая зависимость поля от
времени, изображаемая суперпозицией ряда гармоник Фурье.
560 Глава XII
Следует ожидать, что при /3 -> 0 высшие гармоники исчезнут. Дей-
ТП
ствительно, при i я 0, п > 0 имеем (см. приложение 3): Jn(x) " ,
2 п!
тп~ *
J'n(x) и -^--. Из этих формул видно, что, когда /3 -> 0, существенны
2 (п - 1)!
лишь гармоники с наименьшим возможным значением |n| = 1. При этом (ср. с
ответом к задаче 732):
тт тт , тт е/32 costfsin(A;.Ro)
¦"а - -"1а "г -"-1а - * п '
а ЛО
е/З2 cos(kR)o
-П0 - -Hitf + ------ -----5-----.
а ло
776.
= ^|НП|2Д^ = ^-^-[ctg2i9J2(n/3sini9) +/32j;2(n/3sintf)].
Если движение по окружности происходит под действием постоянного
однородного магнитного поля Н, то
тс2/3
а =
еНу/1 - /З2
777. При решении задачи 774 были получены выражения (2) для п-й
гармоники поля излучения от одного заряда. Выражения этих гармоник для
разных зарядов, очевидно, отличаются друг от друга только начальными
фазами. Обозначив через ipi сдвиг фазы поля I-го электрона относительно
поля того электрона, которому приписан первый номер, запишем
результирующее поле в вещественной форме:
2 ^ нп0 = .7'(n/? sin cos n(wi- + Ф^.
Выражение для Нпа аналогично. Среднее значение интенсивности излуче-
9тг
ния за период Т = равно:
т
dInN = ^'rJ(Я^ + dQ = Sn dIn'
§ 2. Электромагнитное поле движущегося точечного заряда
561
где dln - интенсивность излучения от одного электрона, найденная в
предыдущей задаче, a Sn - коэффициент, учитывающий интерференцию полей
электронов ("фактор когерентности"):
N
SN = N + ^ cosn(ipi - ipi>).
1,1'=1 0*1')
Рассмотрим частные случаи:
а) при совершенно беспорядочном расположении электронов на орбите
^cosn(V>/-#) = 0;
б) при равномерном расположении электронов на орбите
л = -1)
5" = ЛГ?сов2"(1-1)? = ^
1=2
L/=i /=1
е
N
= N(-1)
n Sin П7Г _
te VJL tg N
О, если % - не целое число, N
N2, если % - целое число; N
в) если электроны образуют сгусток, то все разности rpi - ipf малы.
Для не слишком больших п, при которых размер сгустка мал по сравнению с
соответствующей длиной волны, можно заменить все cosn(i/>; - ipi>) в
выражении Sn единицами. Тогда Sn = N2. С увеличением п фактор Sn
уменьшается; значение Sn при этом зависит от деталей расположения
