Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
доминируют последние члены в Е и Н, убывающие по закону 1/г. Эти
/
R
554
Глава XII
члены описывают поле излучения и имеют вид:
еп х (п х v) тт evxn
Е:
С2Г
Н
С2Г
где п =
Положение границы квазистационарной и волновой зон определяется условием
е/г?
откуда
elvl/cVrp
'•"•(г)'
1,
I I 1)
если учесть, что |v| ~ где а - величина порядка размера той области, в
которой происходит движение заряда.
761.
dl
762. а) Порция энергии - d?, излученная частицей внутри телесного угла
сЮ. за время dt', проходит мимо точки наблюдения поля в течение
промежутка времени dt. Следовательно, -Воспользовавшись
' dt' dn dn dt'
равенством t = t'+^, и заметив, что ^ =
Рис. 126
Т>
-п • v, где п = ^, получим н
dt=dt'(l
иательно
dS _ Л _ п • v\ dl. dt' d?l V. с / dQ '
откуда окончательно
б) энергия, излученная зарядом в течение промежутка времени dt',
заключена между двумя сферами. Первая из этих сфер имеет центр в точке О,
где заряд находился в момент t', вторая - в точке О', где он находился в
момент t' + dt' (рис. 126). Радиус первой сферы R, радиус второй R +
cdt'.
§ 2. Электромагнитное поле движущегося точечного заряда 555
Рассмотрим элемент объема dV = dSdR = R2d?l(c - n • v) dt'. В этом объеме
заключена электромагнитная энергия dW = ^- dV = (1 -
- ^j^-)R2 dQdt'. Отсюда для скорости потери энергии - ^
/ dt dii dt dii получим значение, приведенное выше.
7"- >"-f
v х Н\2 (E-v)2
__dS ______ 2с
' л/
(Е+5^н).
dt' 3 m2c3 1 г,2
7
тлл dP v dS
где v - скорость частицы в момент t'.
767. Сравним скорость потери энергии частицей в двух системах отсчета:
мгновенно сопутствующей So, в которой частица в данный момент времени
покоится, и лабораторной S, в которой частица имеет скорость v. В системе
So излучение имеет электрический дипольный характер, поэтому частица в So
не теряет импульса. Это следует из центральной симметрии углового
распределения излучения в этой системе отсчета (или из результата задачи
667).
Рассмотрим количество энергии -dSо, излучаемое частицей за промежуток
времени dt'0 = dr в системе So- В системе S наблюдается при
этом потеря энергии -d§ = - за промежуток времени dt' =
- . Отсюда получаем для скорости потери энергии:
VI - "2/с2
dS dMpj- v2/с2 ^
dt' dr/yjl-v2/с2 dT'
Результат не зависит от v. Это означает, что суммарная по всем
направлениям скорость потери энергии во всех системах отсчета одинакова.
Полная интенсивность излучения в момент времени t определяется интегралом
от нормальной составляющей вектора Пойнтинга по поверхности сферы радиуса
R, с центром в точке, где находилась частица в ре-
556
Глава XII
тардированный момент времени t' = t - В отличие от инвариантной
величины полная интенсивность излучения не обладает простыми
dt
свойствами релятивистского преобразования при переходе от одной системы
отсчета к другой.
768. (r) = -S-E2R2 = jач6, где 1? - угол между
dO. 4тг 47гс (1 - /3cosi9)
направлением скорости v и направлением излучения п, /3 = v/c. Угловая
диаграмма излучения приведена на рис. 127. Когда скорость v частицы мала,
излучение вперед и назад име-v О /^\v "О ет одинаковую интенсивность.
Когда v
8 1 ] сравнимо с с, преобладает излучение впе-
i V J ред тем в большей степени, чем ближе v
v V ЛЛ к с. Максимум излучения наблюдается
I J в направлении $о> определяемом уравне-
нием
Рис. 127 , i_________
cosi?o = ^(Vl + 24^2-1).
При /9 -> 0 i?o -> тг/2; при /9 -> 1 i?o -> 0. Таким образом, в уль-
трарелятивистском пределе излучение происходит в основном под малыми
углами к направлению скорости частицы. Полагая i? < 1, представим ^ в
виде
dl e2v2rd2
6'
Из этой формулы видно, что ультрарелятивистская частица излучает
2
главным образом внутри конуса с углом раствора ф =
Полная интенсивность излучения:
'-/I-*1
2еЧ2 1+/?2/5
Зс3 (1 - /З2)4
Полная скорость потери энергии:
§ 2. Электромагнитное поле движущегося точечного заряда
557
769. Полное тормозное излучение в направлении dn за все время пролета
частицы:
dAW
dQ
2"2
ем
1б7ГС3Г COS t?
(l-^COSt?)
-1
где t? - угол между направлением скорости частицы и направлением
излучения п.
Наблюдаемая длительность импульса зависит от угла д между скоростью
частицы и направлением излучения:
At = т|^1 - ^cost? .
Рис. 128
770. =
dt'
2е4ЯУ Зтте4 с5
771. ~Щ= 26 J* sin у • При 9 " л/1 - г;2/с2 неподвижный на-at Зтге с(1 -
Р )
блюдатель, находящийся далеко от электрона, зарегистрирует отдельные
импульсы излучения, испущенные в те моменты времени, когда скорость
электрона направлена на наблюдателя (в пределах конуса с углом раствора ф
и у/1 - и2/с2, см. задачу 768). Время между импульсами (рис. 128)
/ им cos а \
Т{1- -J яз Тsin в,
COS в
где Т = 2п8/есН - период циклотронного вращения, § - энергия частицы, г>ц
= v cos в - проекция скорости на направление поля. Таким образом,
вследствие поступательного движения электрона со скоростью г>ц излучение,
испускаемое за время Т, пройдет через неподвижную сферу за время т.
Отсюда
/ = _dg_T = 2 е4Я2
