Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
'•-((c).-((c)V
44
Глава III
При постоянных зарядах q проводников следует пользоваться первым из этих
выражений, при постоянных потенциалах V - вторым.
Если в изотропной диэлектрической среде с проницаемостью ?\ имелось
сначала электрическое поле Еь в которое затем было внесено
диэлектрическое тело (объем тела V, диэлектрическая проницаемость ?2), то
энергия электростатического поля меняется на величину
где Е2 - электрическое поле после внесения диэлектрического тела
(источники поля Ei при этом поддерживаются неизменными). Величину U можно
рассматривать как энергию взаимодействия диэлектрического тела с внешним
полем Ei (см. [76], стр. 108).
Если диэлектрик изотропен и его диэлектрическая проницаемость зависит
только от плотности массы т, то электрическое поле действует на
диэлектрик с силой, объемная плотность которой выражается формулой
Объемные силы, действующие на свободные и связанные заряды в некотором
объеме V, могут быть заменены эквивалентной системой поверхностных
натяжений, приложенных к поверхности S этого объема:
где Т" - поверхностная сила, приложенная к единичной площадке с внешней
нормалью п.
Поверхностные натяжения описываются тензором натяжений Т^. Величина Тп в
(III. 18) представляет собой проекцию Tik на направление внешней нормали
п к элементу dS:
ще говоря, не мал. Однако при вычислении равнодействующей сил,
приложенных к диэлектрическому телу, этот член не дает вклада и может
быть
(III. 16)
v
f = рЕ - ±Е2 grad ? + JL grad (я^т) . (III. 17)
(III. 18)
v
S
(T")i - TikTlk,
(III. 19)
Член в (III. 17) и (III. 19), содержащий ^-т (стрикционный член), вооб-
ОТ
§ 1. Основные понятия и методы электростатики
45
отброшен (см., например, [77], § 34 и задачи 140,141). В этом случае
можно вместо тензора натяжений (III. 19) использовать более простой
(максвелловский) тензор
К единице поверхности проводника в электростатическом поле приложена сила
В диэлектрической жидкости, находящейся в равновесии в электрическом
поле, электрические натяжения уравновешиваются гидростатическим
давлением. Обозначив через р(т) давление в жидкости - оно определяется
значением ее плотности т - получим условие равновесия:
В частности, вблизи границы жидкости с атмосферой (е = 1) давление в
жидкости р(т) больше, чем атмосферное давление, на величину
где Е - напряженность электрического поля в жидкости (Еп - нормальная, Et
- касательная составляющие Е. Уравнением (111.23) определяется
зависимость плотности жидкости вблизи ее поверхности от напряженности
электрического поля. Давление внутри жидкости (газа) выражается формулой
(111.20)
еЕ2 <тЕ
8тг 2 '
(111.21)
pn + Tn = const.
(111.22)
Р(т) - Раш =
(111.23)
р
(111.24)
(ро - давление при Е = 0).
Если жидкость несжимаема, то
Р~Ро =
тЕ2 де 87г дт'
(111.25)
129. Точечный заряд q расположен на плоской границе раздела двух
однородных бесконечных диэлектриков с проницаемостями е\ и ?%. Найти
потенциал ^ напряженность Е и индукцию D электрического поля.
46
Глава III
130. От некоторой прямой, на которой находится точечный заряд q,
расходятся веерообразно три полуплоскости, образующие три двугранных угла
Qi, Q2, аз (qi +q2 + Q3 = 27г). Пространство внутри каждого из углов
заполнено однородным диэлектриком с проницаемостью соответственно ей ?2,
?3- Определить потенциал напряженность Е и индукцию D электри-
ческого поля.
131. Центр проводящего шара радиуса а, заряд которого q, находится на
плоской границе раздела двух бесконечных однородных диэлектриков с
проницаемостями е\ иег- Найти потенциал электрического поля, а также
распределение заряда а на шаре.
132. Пространство между обкладками сферического конденсатора частично
заполнено диэлектриком, расположенным внутри телесного угла Q
с вершиной в центре обкладок. Радиусы обкладок а и 6,
проницаемость
диэлектрика а. Найти емкость С конденсатора.
133. Внутри сферического конденсатора с радиусами обкладок а и 6
диэлектрическая проницаемость меняется по закону
. . Г ?1 = const при а ^ г < с,
5(7*1 = г
^ ?2 = Const При С ^ Г ^ 6,
где а < с <Ь.
Найти емкость С конденсатора, распределение связанных зарядов <тсв и
полный связанный заряд в диэлектрике.
134. Сферический конденсатор с радиусами обкладок а и 6 заполнен
диэлектриком, проницаемость которого зависит от расстояния до центра г по
закону е(г) = еоа2/г2. Показать, что емкость такого конденсатора равна
емкости плоского конденсатора, заполненного однородным диэлектриком с
проницаемостью ео, у которого площадь обкладки 4ла2, расстояние между
обкладками 6 - а (краевым эффектом пренебречь).
135. Плоский конденсатор заполнен диэлектриком, проницаемость которого
изменяется по закону е = ео{х + а)/а, где а - расстояние между
обкладками, ось х направлена перпендикулярно обкладкам, площадь которых
S. Пренебрегая краевым эффектом, найти емкость С такого конденсатора и
распределение в нем связанных зарядов, если к обкладкам приложена
разность потенциалов V.
