Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
между ними силу F.
126. Найти силу F и вращательный момент N, приложенные к электрическому
диполю с моментом р в поле точечного заряда q.
127. Диполь с моментом pi находится в начале координат, а другой диполь
с моментом р2 - в точке с радиусом-вектором г. Найти энергию
взаимодействия U этих диполей и действующую между ними силу F. При какой
ориентации диполей эта сила максимальна?
128. Система зарядов характеризуется объемной плотностью р(т) и занимает
ограниченную область в окрестности некоторой точки О. Система помещена во
внешнее электрическое поле, которое в окрестности этой точки может быть
представлено в виде
Vi (г) = JЩГ[а1тГ'?1т^'а)-
/,7П '
Найти энергию взаимодействия системы U с внешним полем <pi, выразив ее
через ajm и мулышюльные моменты Qim системы (ср. с задачей 166*).
ЛИТЕРАТУРА
Тамм И. Е. [101], Абрагам-Беккер [1], Джексон Дж. [52], Френкель Я. И.
[111], Стрэттон Дж. А. [100], Смайт В. [93], Гуревич JI. Э. [49],
Пановский В., Филипс М. [86].
Глава III
ЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ И ДИЭЛЕКТРИКОВ
§ 1. Основные понятия и методы электростатики
Электростатическое поле в диэлектрике характеризуется вектором
напряженности электрического поля Е и вектором электрической индукции D,
которые удовлетворяют уравнениям:
rot Е = О, Ф Ei dl = 0, '
или
I
div D = 47Гр, f Dn dS = 4nq,
s
где p- плотность свободных зарядов в диэлектрике, q - полный свободный
заряд, заключенный внутри поверхности S. Плотность связанных зарядов в
диэлектрике можно выразить через вектор поляризации Р (электрический
дипольный момент единицы объема диэлектрика, создаваемый связанными
зарядами):
рсв = - div P. (III.2)
Вектор поляризации Р выражается через Е и D:
D = Е + 4тгР. (III.3)
Для изотропных диэлектриков в достаточно слабых полях
D = еЕ, (III.4)
где е - диэлектрическая проницаемость среды. В анизотропных диэлектриках
е - тензор II ранга, т. е.
Di - ?ikEk,
(III.5)
42
Глава III
(суммирование по к). Для описания поля удобно пользоваться скалярной
величиной - потенциалом <р:
которое в тех областях, где диэлектрик однороден, сводится к уравнению
Пуассона
На поверхностях раздела сред с разными диэлектрическими проницаемостями
должны выполняться граничные условия1
Орт нормали п проведен из первой среды во вторую; т - орт, касательный к
поверхности, а - поверхностная плотность свободных зарядов. Поверхностная
плотность связанных зарядов <тсв на границах раздела определяется
формулой
Основная задача электростатики - нахождение потенциала электрического
поля. Она может быть решена разными методами. Основным методом является
решение дифференциальных уравнений (III.7) или (III.8) с граничными
условиями (III.9) или (III. 10). Иногда удается подобрать такую систему
фиктивных точечных зарядов, поле которой в рассматриваемой области
удовлетворяет как дифференциальному уравнению, так и граничным условиям
(метод изображений). В ряде случаев удается найти систему изображений
простым подбором (см., например, далее, задачи 142, 146,
Го
(III.6)
г
где г - радиус-вектор точки наблюдения, <р(го) = 0. Потенциал
удовлетворяет уравнению
div (е grad <р) = -4п р,
(III.7)
(III.8)
Е\т = Е?т, Dm - Dln = Ажа
(III.9)
или
(111.10)
0CB - Pin Р%п-
(111.11)
153*, 155).
'Граничные условия в форме (III.9) имеют место как в изотропных, так и в
анизотропных средах.
§ 1. Основные понятия и методы электростатики
43
Внутри проводников, находящихся в постоянном электрическом поле, Е = 0.
Поэтому граничные условия на поверхности проводника имеют вид:
ЕТ = 0, Iр = const. (III. 12)
Если некоторая область пространства занята диэлектриком с проницаемостью
е, и известно электростатическое поле во всем пространстве, то при е ->
оо это поле принимает такой же вид, какой оно имело бы, если бы данная
область была занята проводником.
Задача об определении электрического поля, создаваемого заданной
ограниченной системой заряженных проводников, находящихся в диэлектрике,
имеет единственное решение, если известен либо полный заряд каждого
проводника, либо его потенциал. В первом из этих случаев, наряду с
условиями (III. 12) нужно использовать граничное условие
^ = ~Ь / 4^' <ПШ)
S S
где q - заряд проводника, а интеграл берется по поверхности проводника.
Емкостью С конденсатора называется отношение заряда на одной из его
обкладок (первой) к разности потенциалов между обкладками:
" (III. 14)
<Р 1 - <Р2
Емкостью уединенного проводника называется отношение заряда проводника к
его потенциалу (при этом нужно считать, что потенциал <р = О на
бесконечности).
Энергия электростатического поля, локализованная в объеме V, выражается
интегралом по этому объему:
W = Ju)dV, (III. 15)
где из = D • Е/87Г - плотность энергии поля.
Энергия W электростатического поля зависит от обобщенных координат а,
характеризующих взаимное расположение заряженных тел. Соответствующие
обобщенные пондеромоторные силы могут быть получены как производные по
координатам а от энергии W:
