Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
Г = / 2Е 2Л - 1----------2 (Е Х НО)-
тп(шо - и ) ТП2с(ио - О)2)
Чтобы получить тензор поляризуемости атома, используем запись векторного
произведения с помощью антисимметричного тензора ем (см. задачу 26). Это
даст
e е2 г , е2иН01 .
Pik - / 9 9Ч Oik I _ 6ikl •
m(o>0 - w ) m2c(wq - o>2)
В соответствии с общим положением, доказанным в задаче 315, этот тензор
является эрмитовым. Вектор гирации (см. задачу 316) в данном случае имеет
вид
_ е2и и 2еш ..
8 =--------" , "-----ГГг о =------~
тп2с(ш о - а>2) m(wo - w2)'
еН0
где шь = 2^ - ларморова частота.
342
Глава VI
318.
?"fc -
( ?(е++е-) {(е+-е~) (Л -?(?+-?") ^(е+ + е-) 0
О
2
\ о
где
е± = 1-
ш(ш ± 2шь) - Ц) ' Вектор гирации равен по величине
? = 1 -
U)"
Ш2 - Шо
е°/
. .2 _ 4ne2N 2'шр =---------
ш
9 = i(e+~e )
и направлен по оси z.
Результат предыдущей задачи получается из найденного точного решения при
выполнении условия 2шьш <С |wq - ш2|.
319. Тензор имеет такой же вид, как и в предыдущей задаче. Но его
компоненты е± и е° определяются следующими выражениями:
?± = 1 -
UJZ
е= 1 -
w2 -I- w(i-y ± 2шь)' "2
ur -I- iw'y
/V - И , . - еЯ0 ^ П , .2 - 47Гб2 ЛГ 7 "г' L 2шс р
ш
Из-за наличия "трения" (ту ф 0) в электронном газе происходит диссипация
энергии, и тензор ?ik неэрмитов.
320. j = <тЕ -I- (Е х а),
где
а =
е2ЛГ
Ш7 '
e3iV " V
Н0, 7-т-
ш272с
Магнитное поле приводит к возникновению тока, перпендикулярного
электрическому полю (ток Холла).
§ 2. Поляризация вещества в переменном поле 343
Обратная зависимость в том же приближении имеет вид E=±j + fl(jxH0),
где R = --г-г - постоянная Холла.
ceN
Тензор электропроводности:
Oik = обце в" fc/fl/.
321. Обозначим массу, скорость и заряд электрона через ш, г, -е а те же
величины, относящиеся к иону, через М, R, +е. Тогда получим следующую
систему уравнений движения:
тт = -еЕое_*ы' - |(г х Но) - Ш7(г - R),|
MR = еЕ0е_*ы' + |(R х Н0) - m7(R - r).J ^
Здесь Но - постоянное и однородное магнитное поле, тп'у - коэффициент
"трения"; сила трения пропорциональна относительной скорости электронов и
ионов, т. е. разностям (г - R) и (R - г) для электронов и ионов
соответственно. Электрическое поле Е = Еое_1Ы* зависит от времени по
гармоническому закону.
Ищем решение системы (1) в виде
г = r0e~iult, R = Roe_iwt. (2)
Выберем направление Но за ось z и введем циклические компоненты векторов
го и Ro по формулам
"*о±1 = =F^(r°x 111 *го")" = ±
Подставим (2) в (1) и сложим получившиеся уравнения:
-гш(шг0 + MRo) = f [(Ro - го) х Н0].
Левую часть последнего равенства можно записать в виде -iu>[(M + тп)Ro +
т(г0 - Ro)].
Пренебрегая т по сравнению с М, получим
а>До±1 = +w-^^s±i, (3)
344
Глава VI
где
Пя = и s = Ro - го-
Затем поделим первое из уравнений (1) на т, второе на М и вычтем их друг
из друга. Пренебрегая членами ^ по сравнению с по сравнению
с 7з, ^(Rx Н0) по сравнению с ^(гх Н0), обозначив изн = и используя (2),
получим:
( - iu) + 7 гизн)з±i Т гизнЯo±i = щЕо±и
2 cEqz .
- LO Sz = -Jfi- + IU3^SZ.
Из уравнений (3) и (4) находим s.
Вектор поляризации Р вычисляется по формуле Р = Neae~wt, где N - число
ионов (равное числу электронов) в единице объема.
Компоненты тензора диэлектрической проницаемости запишутся в виде
е± = 1_______________^_____________, eW = 1__________^_____.
I , • I ин?1н\' + i-y)
U)\u) + fy±U)H------
Компонента е^ имеет такой же вид, как скалярная диэлектрическая
проницаемость в отсутствие магнитного поля, полученная в задаче 312; она
неограниченно возрастает при из -> 0. Компоненты е* при учете движения
ионов содержат в знаменателе лишний член w# fi#; им можно пренебречь
при <С 1, т. е. при больших частотах из. Однако при малых частотах этот
член становится существенным; при из -> 0 он приводит к тому, что
компоненты е* остаются конечными: е* = 1+ ^ ^ . Благодаря этому в плазме
могут существовать волны весьма малой частоты (магнитогидродинамические
волны). Распространение электромагнитных волн в плазме с учетом колебаний
положительных ионов рассматривается ниже в задаче 445.
322. В системе координат, ось хз которой совпадает с выделенным
направлением, тензор 7** должен иметь вид
( Т Та 0\
Tik=[-Ta Т 0 .
V 0 0 ц)
Это согласуется с результатами, полученными в задачах 318, 319 и др.
§ 3. Ферромагнитный резонанс 345
324. Поскольку включение поля происходит в момент t = 0, то из принципа
причинности следует, что Р(t) = 0 при t < 0. Обозначив диэлектрическую
восприимчивость через а = а' + га", получим
ОО ОО
P(i) j du/= Ц j du/, (1)
-оо -оо
где Е(а/) - компонента Фурье поля Е(t) = ЕоS(t). Умножим (1) на е1шЬ и
проинтегрируем по t от -оо до 0. В силу условия Р(t) = 0 при t < 0 будем
иметь
00 0
± j dw'a{и') j e~i^'-^tdt = 0. (2)
-оо -ОО
Используя (П 1.17) и отделяя вещественную и мнимую части, получим
ОО ОО
I, s 1 Г , ... . 1 Г a'(u/)du/ , ч
-оо -оо
откуда следуют соотношения Крамерса-Кронига.
325. е" = 1+ ?о~12-
1 + ш2т2
327.
td 1 dD' , 4тг. rotB = + ~J>
сот с div D' = 47Гр, div В = 0.
