Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
диска.
88. Тонкое крутое кольцо радиуса R состоит из двух равномерно и
противоположно заряженных полуколец с зарядами q и -q. Найти потенциал <р
и напряженность Б электрического поля на оси кольца и вблизи нее. Каков
характер поля на больших расстояниях от кольца?
Постоянное электрическое поле в вакууме
35
89. Выразить потенциал ip равномерно заряженного круглого тонкого
кольца с зарядом q и радиусом R через полный эллиптический интеграл
первого рода
Указание. При выполнении интегрирования по азимуту сделать замену а' = =
тг - 2(3.
90. Получить из общей формулы, описывающей потенциал тонкого круглого
кольца (см. задачу 89), потенциал ip электрического поля: а) на оси
кольца; 6) на больших расстояниях от кольца; в) вблизи нити кольца.
Указание. Для случая в) воспользоваться формулами 8.113 в справочни-
91. Сфера радиуса R заряжена по поверхности по закону <т = сто cos $.
Найти потенциал ip электрического поля, используя разложение по
мультиполям в сферических координатах.
92. Источники электрического поля расположены аксиально симметричным
образом. Вблизи оси симметрии системы источники поля отсутствуют.
Выразить потенциал ip и напряженность Б электрического поля вблизи оси
симметрии через значения потенциала ip и его производных на этой оси.
93. Найти потенциал <р электрического поля равномерно заряженного
круглого тонкого кольца, используя разложение по мультиполям в
сферических координатах. Заряд кольца q, радиуса R.
94. Найти потенциал ip электрического поля на больших расстояниях от
следующих систем зарядов: а) заряды q, -2q, q расположены по оси z на
расстоянии а друг от друга (линейный квадруполь); б) заряды ±<j
расположены в вершинах квадрата со стороной а так, что соседние заряды
имеют разные знаки, причем в начале координат находится заряд +q, а
стороны квадрата параллельны осям ж и у (плоский квадруполь).
95. Найти потенциал ip электрического поля на больших расстояниях от
следующих систем зарядов: а) линейный октуполь (рис. 8а), б)
пространственный октуполь (рис. 86).
тг/2
ке [90].
96. Точечный заряд q находится в точке со сферическими координатами
(го, i9o,ao). Разложить по мультимополям потенциал <р этого заряда.
36
Глава II
97. Эллипсоид с полуосями а, Ь, с равномерно заряжен по объему; полный
заряд эллипсоида q. Найти потенциал ip на больших расстояниях от
эллипсоида с точностью до квадрупольного члена. Рассмотреть частные
случаи эллипсоида вращения с полуосями1 а = b и с и шара (а = b = с).
УКАЗАНИЕ. При интегрировании по объему эллипсоида воспользоваться
обобщенными сферическими координатами х = ar sin cos а, у = Ьг sin д sin
a, z = = сг cos д.
+%
а/
-Q
с
_b-q
±зА
+Q
б)
Рис. 8
98. Два коаксиальных равномерно заряженных тонких круглых кольца с
радиусами а и 6 (а > 6) и зарядами q и -q соответственно, расположены в
одной плоскости. Найти потенциал ip на большом расстоянии от этой системы
зарядов. Сравнить его с потенциалом линейного квадруполя (см. задачу 94).
99*. Показать, что распределение заряда р = -(р' • V)<5(r) описывает
элементарный диполь с моментом р', помещенный в начало координат.
Пояснить результат, воспользовавшись наглядным представлением J-функции
(приложение 1).
УКАЗАНИЕ. Исходить из разложения по мультиполям в декартовых координа-
100. Доказать, что распределение зарядов
i=1
уж г)
Атомные ядра, обладающие квадрупопьным моментом, можно в некотором
приближении рассматривать как эллипсоиды вращения
Постоянное электрическое поле в вакууме
37
создает потенциал
="П(а<'V)f-
i=l
101. Используя результаты задачи 94 и учитывая, что квадрупольный момент
является тензором II ранга, найти поле if на большом расстоянии от
линейного квадруполя, направление оси которого определяется полярными
углами 7,/?. Каким еще способом можно решить задачу?
102. Пространственный октуполь (рис. 86) повернут вокруг оси 2 на угол
/3. Найти поле if на больших от него расстояниях путем преобразования
компонент октупольного момента. Сравнить с другими методами решения.
103. Найти потенциал if электрического поля на больших расстояниях от
плоского квадруполя, расположенного в плоскости, проходящей через ось г
(рис. 9). Компоненты квадруполь-ного момента получить непосредственно, а
также путем поворота плоского квадруполя, рассмотренного в задаче 946).
104. Шар радиуса R равномерно поляризован, дипольный момент единицы
объема Р. Найти электрическое поле if.
105. Двумерное распределение заряда характеризуется плотностью р(г), не
зависящей от координаты г. Если р(г) ф 0 в ограниченной области S
плоскости ху, то можно разложить потенциал if вне распределения зарядов
по мультиполям (двумерные мультиполи). Найти это разложение.
УКАЗАНИЕ. Использовать результат задачи 73 и принцип суперпозиции, а
также
ОО COS /сф .
разложение 1п(1 + и2 - 2ucosiр) = - 2 -и^и> М < 1 (см- [90]" 1-514).
к=1 *
106. Разложить по двумерным мультиполям потенциал if электрического поля
линейного заряда х. Заряженная линия параллельна оси 2 и проходит через
