Пространственные гиперзвуковые течения вязкого газа - Башкин В.А.
ISBN 5-02-015563-2
Скачать (прямая ссылка):
§ 11.1. Математическая постановка задачи
Как и в гл. б, на основе двухслойной схемы течения рассматривается обтекание плоского треугольного крыла конечной длины
L гиперзвуковым потоком вязкого газа [Дудин Г. H., 1982 а, б]. Такая схема течения получается из краевой задачи для уравнений Навье—Стокса при совершении тройного предельного перехода M00—*оо, Re-*оо, 6-*0, где 6 — характерная безразмерная толщина пограничного слоя.
Рис. 11.1
5 11.1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
217
Для решения задачи используется декартова система координат с центром в вершине треугольного крыла (рис. 11.1).
В соответствии с обычными оценками для пограничного слоя в гиперзвуковом потоке [Хейз У. Д., Пробстин Р. Ф., 1962] вводятся следующие безразмерные переменные; UU009 WU009 VXz01U00 — проекции вектора скорости на оси х° = xL9 z° = zz0L9 у0 = yxL соответственно; ртрж — плотность; Px2P00U* — давление; guy2 — энтальпия торможения; (Х(х0 — динамический коэффициент вязкости;
Iz \1/4
atxL — толщина пограничного слоя. Здесь параметр т = 1^1 , а z0 = tg ш0. Если уравнения Навье—Стокса записать в этих переменных и совершить предельный переход Re—*<», то в результате приходим к уравнениям пространственного ламинарного пограничного слоя (6.6) с соответствующими граничными условиями.
Для решения системы уравнений пограничного слоя (6.6) необходимо знать распределение давления, которое не задано и должно определяться в процессе решения краевой задачи (6.6) совместно с уравнениями для внешнего невязкого течения. Так как в данной главе рассматривается обтекание крыльев с удлинением z0 = 0(1) и для внешнего невязкого течения справедлива теория полос [Хейз У. Д., Пробстин Р. Ф., 1962], то для определения давления можно использовать приближенную формулу «касательного клина», например, в форме, справедливой при M00x»!,
Решение полной краевой задачи включает учет течения в следе, который образуется за крылом [Нейланд В. Я., 1974], однако в данной главе, чтобы не рассматривать это течение, краевое условие задается на задней кромке треугольного крыла. При этом следует иметь в виду, что при обтекании не холодной пластины разложение решения в ряды в окрестности передней кромки содержит произвольную функцию, так как течение является докритическим [Нейланд В. Я., 1974], а поэтому для отбора единственного решения краевой задачи на задней кромке необходимо задавать функцию. В настоящей главе в качестве такой функции используется заданное распределение давления на задней кромке. Вопросы, связанные с обтеканием задней кромки плоских треугольных и ромбовидных крыльев на режиме сильного вязкого взаимодействия, были рассмотрены в работе [Денисенко О. В., 1978].
сил)
oo
о
( (g-u2- w2) dk.
218
Гл. 11. КРЫЛЬЯ НА РЕЖИМЕ СИЛЬНОГО ВЯЗКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Заметим, что на задней кромке крыла (х = 1) при заданном распределении давления pk(z) толщина 6с(х, z), полученная в результате решения краевой задачи, должна удовлетворять соотношению
^(?-*+?^)2=*«. (и-2)
Для учета особенностей поведения искомых функций в окрестности вершины треугольного крыла вводятся переменные подобия
х = х, Z = Xz*, X = X1Z4X*, oe = x3'4o;(x, z*), ц = ц*(х, X*, z*), и = и(х, X*, z*), w = ш(х, X*, z*), g = g(x, X*, z*), p = x-i/V(*, *•), р = х^/2р*(х, X*, z*), v = x-3/< ^.-XttZ()^j. (11 з)
Кроме того, необходимо также учесть особенности поведения искомых функций в окрестности передних кромок треугольного крыла (z* = ±1). Это достигается путем введения переменных подобия
&г=(1-г'2)3/4Де(х, в),
"* = [*oT^-(»-V»")g] ^V^^- (11-4) В результате всех этих преобразований приходим к краевой задаче
го-^Й + (— V*) + v0K = О,
/ =
C-
t«-"-*M?s) ¦*(**)
dt) I [Pr ЭЛ Pr dti JJ
^P0 2VA
§ 11.2. АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КРЫЛЬЕВ
219
А^ = 7П?1 (g-u*-ufi) dr)y N=(g-u*-w*)<»-K 0 о
Po = 1T1I [j (1 - Є2) Ае + *(1 - 92) ? - 9(1 - 92) ? -1 Єде] x
xcose+[(l-92)^-fAe]^}2 (11.6)
с граничными условиями при |6| и 0 ^ х ^ 1
u = v0 = w = 0, g = gw при ті = 0, (117)
и—>cos е, w—* sin е, g—>1 при T]-* оо.
Система уравнений в частных производных (11.5) описывает течение в трехмерном пограничном слое на плоской треугольной пластине конечной длины на режиме сильного вязкого взаимодействия. Следует отметить, что в вершине треугольного крыла (х = 0) в системе уравнений (11.5) члены, содержащие переменную х, выпадают и краевая задача оказывается зависящей только от двух независимых переменных бит).
Получающаяся система дифференциальных уравнений в частных производных, как отмечалось выше, описывает также течение на полубесконечном треугольном крыле [Дудин Г. H., 1978]. На передних кромках крыла, при значениях поперечной координаты 0 = ± 1, система уравнений (11.5) вырождается в систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Причем для треугольного крыла в этих уравнениях члены, содержащие переменную х, также выпадают и их решения справедливы при всех значениях координаты х (0 х ^ 1).
Область интегрирования системы (11.5) представляет собой прямоугольный параллелепипед. Для решения полной краевой задачи необходимо сначала решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений на передних кромках крыла, затем, используя эти решения в качестве краевых условий, решить систему уравнений в частных производных, зависящую от двух независимых переменных и описывающую течение в вершине треугольного крыла. Наконец, задавая краевое условие на задней кромке крыла, например распределение давления, и используя полученные решения в вершине крыла и на его передних кромках, решается система уравнений трехмерного пограничного слоя (11.5).
