Пространственные гиперзвуковые течения вязкого газа - Башкин В.А.
ISBN 5-02-015563-2
Скачать (прямая ссылка):
Как показал теоретический анализ и приближенное решение задачи, система уравнений (2.1) с граничными условиями (2.2) в зависимости от определяющих параметров задачи может иметь как единственное, так и неединственное решение. Вследствие этого для ее численного анализа в различных областях изменения определяющих параметров приходится применять разные подходы. Краткое описание процедуры численного анализа приведено в гл. 13. Отметим, что в разработке методики численного анализа и получении систематического расчетного материала принимал активное участие дипломник ФАЛТ МФТИ Диканский Е. А.
Анализ результатов систематических расчетов ограничим частным случаем, соответствующим числу Прандтля Pr= 1, который во многих работах является основным. При числе Pr = 1 решением уравнения энергии, как и на плоской пластине [Crocco L., 1946],
40
Гл. 2. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ЛИНИЯХ РАСТЕКАНИЯ И СТЕКАНИЯ
является интеграл Крокко
G(4) = tfw0Ti + (l-tfw0) W(T1).
Поэтому численному анализу подвергаются только уравнения импульсов с целью определения функций W(T)) и Ф(*п), благодаря чему значительно сокращается объем вычислений по сравнению со случаем Pr ^ 1.
Общее представление о поле решений дают зависимости величин Ч*"(0) и Ф"(0) от параметра автомодельности ? при ап = const. Как пример на рис. 2.1 показаны поля решений для теплоизолированной
Рис. 2.1
поверхности (C(O) =0) при параметре я12 = 0,25. Можно увидеть, что имеется несколько ветвей решений, которые на рис. 2.1 обозначены условно цифрами. Множественность ветвей решений при отрицательных значениях параметра автомодельности ? является, по-види-
§ 2.5. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА
41
мому, общим свойством уравнений Прандтля, хотя при переходе от одного класса течений к другому наблюдаются определенные различия в поведении решений. Это свойство впервые было установлено для уравнения Фолкнера-Скан (плоская задача, несжимаемая жидкость) в [Либби, Лю, 1967] и несколько позднее для уравнений Прандтля на критической линии скользящего цилиндра (вырожденная пространственная задача, сжимаемая жидкость) в [Башкин В. А., 1971]. В обоих случаях решение задачи существует во всем интервале изменения параметра ?, при этом при ? ^ O+ оно является единственным, а при ? ^ 0" — неединственным. Нулевая ветвь решения при ? ^ 0"" состоит из двух частей — непрерывной, на которой профиль скорости является монотонным и решение непрерывно переходит через ? = 0, и разрывной, на которой профили скорости являются немонотонными (наличие возвратного течения вблизи поверхности) и на которой W(O) и Ф(0) стремятся к нулю при ?-*0~\ На дополнительных ветвях решений (первая, вторая и др.) наблюдается течение со сложным немонотонным профилем скорости и вследствие этого, как показал анализ устойчивости дополнительных решений уравнения Фолкнера-Скан [Чен, Либби., 1968], они являются в большинстве случаев пространственно неустойчивыми и, следовательно, нереа-лизуемы в прикладных задачах. Поэтому изучение этих решений представляет преимущественно математический интерес.
Для исследуемого класса автомодельных решений уравнений пространственного пограничного слоя отличие от указанных выше двух классов прежде всего состоит в том, что при отрицательных значениях параметра автомодельное™ ? решение задачи существует в ограниченном интервале: ? > —3/2. При меньших значениях параметра, как это было установлено Муром [Moor F. К., 1953], возмущения при т) —* оо не затухают.
Следующее отличие касается поведения нулевой ветви решений в окрестности ? = 0. Анализ системы уравнений (2.1) в окрестности ? = 0 показал [Башкин В. А., 1968], что нулевая ветвь решений имеет две части: непрерывную (регулярную) и разрывную (сингулярную). Обе эти часта смыкаются друг с другом при ? = ?», значение которого существенно зависит от определяющих параметров задачи.
Развитие профилей скорости на нулевой ветви показано на рис 2.2: решения, соответствующие непрерывной (сплошные кривые) и разрывной (штриховые кривые) частям, существенно отличаются как по размерам области возмущенного течения, так и по форме профилей. Отметим, что на разрывной часта в области положительных значений параметра ? профиль продольного компонента скорости аналогичен профилю скорости в слое смешения, а у профиля поперечного компонента скорости вблизи обтекаемой поверхности наблюдается область возвратного течения в поперечном на-
42
Гл. 2. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ HA ЛИНИЯХ РАСТЕКАНИЯ И СТЕКАНИЯ
правлении, т. е. направление движения газа в пристеночных слоях не совпадает с направлением течения газа на внешней границе пограничного слоя. Поскольку в рамках теории пограничного слоя
20|-
20І-
Рис. 2.2
давление постоянно поперек области вязкого течения, а во внешнем потоке имеется отрицательный градиент давления, то, следовательно, нет сил, которые могли бы вызвать возвратное течение в пограничном слое. На основе такого физического соображения в работе [Башкин В. А., 1968] сделан вывод, что разрывная ветвь решения должна быть исключена из рассмотрения при ? ^ O+. В этом случае на линии растекания решение задачи является единственным. Вместе с тем в работе [By П., Либби П. А., 1973] отмечается, что решение разрывной ветви при ? ^ O+ не следует отбрасывать и что такую ситуацию можно реализовать путем вдува газа в пограничный слой по направлению к линии растекания.
