Пространственные гиперзвуковые течения вязкого газа - Башкин В.А.
ISBN 5-02-015563-2
Скачать (прямая ссылка):
Если в окрестности CL1 = 0 решение является регулярным, то из
(2.18) следует
.,.1-?.^?-!).
полученное решение соответствует знаку «плюс» в формуле (2.19). Следовательно, формула (2.19) со знаком «плюс» перед корнем описывает регулярную ветвь решения, которая по параметру o1 непрерывно переходит через нуль.
Для изучения сингулярного решения умножим уравнение (2.18) на Q1:
(Q1C1)2 + Z)2Q1C1 - Q1Z)0 = О
и при а-*0 будем иметь
QC1(QC1 + Z)2) =0.
§ 2.4. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
37
Отсюда следует
ас, =-lim D2 = - Щ = 2,112.
Полученное решение соответствует решению (2.19) со знаком «минус» перед корнем, которое и определяет сингулярную ветвь решения.
Регулярная и сингулярная ветви решения сопрягаются между собой при определенных условиях, которые устанавливаются путем приравнивания нулю дискриминанта квадратного уравнения (2.18) (кратный корень уравнения):
Щ + 4Q1Z)0 = O.
После подстановки выражений для D0 и Z)2 и некоторых преобразований приходим к уравнению
of+ 2X1Q1H-^0 = O,
Решение этого уравнения имеет два корня Ct1. = -A{±^Aj-A0.
Поскольку коэффициенты A0 и A1 положительны, то имеются две точки сопряжения регулярной и сингулярной ветвей решений при отрицательных значениях параметра O1: > а(?>. Полученный результат указывает на следующее. При O1 > а$ дискриминант D = D^ + 4O1Z)0 ^ О и существуют две ветви решения — регулярная и сингулярная. В интервале а$ < а{< а$ дискриминант Z) < О и решение задачи не существуют (решение (2.L9) является комплексным). При Oi1^a[Z) дискриминант Z)^O и вновь существуют две ветви решения.
2.4.3. Характеристики пограничного слоя. При сделанных предположениях точность расчета коэффициентов сопротивления трения и теплопередачи во многом определяется выбором постоянной Чеп-мена—Рубезина X; ее значение обычно оценивается как точное значение X при некоторой определяющей температуре Г*, т. е. X = pj ц*. Наиболее часто в качестве Г* используется средняя температура поперек пограничного слоя [Башкин В. А., 1962] і і
AJ = J A1 dux = j P4(M1) dux - \ а0.
38
Гл. 2. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ЛИНИЯХ РАСТЕКАНИЯ И СТЕКАНИЯ
Если сюда подставить разложение для ?4, то после выполнения соответствующих операций придем к результату
L,_2 + Pr + 3ttw-2tto Л1~ 5 + РЇ •
Для совершенного газа со степеннйм законом вязкости (цосГ®, 0,5 ^ со ^ 1) постоянная Чепмена—Рубезина X будет вычисляться по формуле
(b\Y~l = ( (5 + Pr)(I-а0) у-<° = Ы ^2 + Рг + ЗЯ^2ао]
= Г_*±І?_І1"* (2.20)
^2+(Pr + 3#^(l+(V-l)M2/2)J V '
С учетом соотношения (2.20) полученное выше приближенное решение позволяет оценить характеристики пограничного слоя: местный коэффициент сопротивления трения
относительный тепловой поток
= = 2§Ш ~Я^' S(1) = 7(?+РгГ)); (2'22) местное число Стантона
cfc = ^ = ^y. (2.23)
Таким образом, на линиях растекания и стекания на изотермической поверхности, как и для плоской пластины, имеет место аналогия Рейнольдса (S(I) — коэффициент аналогии Рейнольдса, значение которого зависит от числа Прандтля).
Хотя поперечный компонент напряжения трения обращается в нуль на линиях растекания и стекания, тем не менее поперечное течение воздействует на продольный компонент сопротивления трения, а через него на местный тепловой поток.
Коэффициент сопротивления трения на изотермической пластине определяется формулой
с/1
с/?1
3 IRe '
При одинаковых значениях параметров потока на внешней границе пограничного слоя и одинаковом значении энтальпийного (температурного) фактора пространственный и плоский случаи бу-
§ 2.5. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА
39
дут соотноситься следующим образом:
c/,=V1+2+2a»(1+!ci) с/р'-
Аналогичная связь имеет место для относительного теплового потока и числа Стантона. Под корнем имеем три слагаемых. Первое слагаемое характеризует продольное течение как плоское; второе слагаемое определяет влияние явления растекания, которое одинаково для всех конических течений и обусловливает увеличение местных коэффициентов сопротивления трения и теплопередачи. Третье слагаемое учитывает влияние интенсивности поперечного течения. На линиях растекания оно приводит к возрастанию сопротивления трения и теплового потока, и этот прирост может быть значительным в зависимости от условий обтекания и формы тела. На линиях стекания наличие поперечного течения уменьшает влияние пространственности на характеристики пограничного слоя. При определенных условиях увеличение коэффициентов сопротивления трения и теплопередачи за счет явления растекания компенсируется уменьшением их за счет поперечного течения, следовательно, в этих областях расчет характеристик можно проводить, как для плоской пластины.
§ 2.5. Результаты численного анализа
Задача об автомодельном течении в пограничном слое на линиях растекания и стекания является многопараметрической; при сделанных упрощающих предположениях ее решение зависит от параметра автомодельное™ ?, параметра а12, характеризующего число Маха на внешней границе пограничного слоя, энтальпийного (температурного) фактора #wR = HJH^ и числа Прандтля Pr.
