Пространственные гиперзвуковые течения вязкого газа - Башкин В.А.
ISBN 5-02-015563-2
Скачать (прямая ссылка):
Наибольшей сложностью обладает асимптотика решения второго уравнения импульсов; проведенный анализ дал следующие результаты. Если к{ > 0 и к{ Ф- 2/3, то имеем
A1 QXPj-Jk1Z1 -A0)2^A1} Г (l+m)(2 + mU1
(A1Z1 -Vm+1 1 2(A1Z1-A0)2 +-
+ TV(Z1) - 21? Г(Z1)) - ^?, (2.6)
где m = 2(l + 2?)(3 + 2?)-i,
если Pr= 1;
+
Г =
З*! -1
2(3^-2)(1-?)'
(3Aj1-I)
5A1(Pr-1)+4/3 "Pr(Pr-I)(V1-A0J1
+ ...
если Pr ^ 1.
3(1-її2) Pr(Pr-I)(A1Z1-A0)2 * Если к{ = 2/3 (? = —0,5), то асимптотика имеет следующий вид:
^1 exp {-(A1Z1-A0)2^A1}
*1Г1~*0
1--
где
(A1*,-*0>2
+ E1^ In (*л - *0) +ъф^2 + ...} + У,. (2.7)
'¦-1?^ ^1 = O, если Pr=I;
2ЇЇ2/'U1)^(Z1)
^1--3/4^); У1-3d .Л)
1
*) Pr(Pr-I)(A1Z1-A0)2 (3-5Pr)A1
, если Pr 1.
Pr(Pr-I)(A1Z1-A0)2
При ^1=O (? = —1,5) асимптотика рассматриваемой функции определяется выражением p'(zx) = A1 exp (X1Z1) + A2 exp (X2Z1) + Ao-X1
?'(2,)-2?/' .1 _.....
§ 2.2. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЯ
31
где
Л1,2- 2 - V 4 3*
В приведенных выше асимптотических разложениях A0, Av A1, B0, C0 есть постоянные интегрирования; их значения определяются в результате сращивания с решением для внутренней области, которое находится численным интегрированием.
На основании асимптотических разложений можно установить соотношения, которые связывают между собой искомые функции на достаточно больших расстояниях от поверхности и которые могут быть использованы в качестве внешних граничных условий при численном анализе системы уравнений (2.1). Если принять, что возмущения на бесконечности затухают по экспоненциальному закону, то для ^1 > О (?>—1,5) асимптотические связи имеют следующий вид:
В приведенных соотношениях индекс к обозначает номер итерации, поскольку из-за нелинейности дифференциальных уравнений решение задачи с граничными условиями, наложенными на решение на разных концах интервала изменения независимой переменной, обычно находится итерационным путем.
Полученные асимптотические разложения позволяют установить следующее.
Для функции тока W(Z1) возмущения на бесконечности могут затухать только по экспоненциальному закону, и это имеет место
2 [(1 + ?)G;' - {Pr - (2 + Pr2 + 2?) ffi у;ч 3Pr2(l-5^)(? + 2/3 &Фк)2
32
Гл. 2. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ЛИНИЯХ РАСТЕКАНИЯ И СТЕКАНИЯ
при условии, что к{ ^ 0, т. е. при ? ^ —1,5. При меньших значениях параметра ? решение задачи с затухающими на бесконечности возмущениями не существует. Аналогичная ситуация наблюдается и для энтальпийного потенциала G(Z1).
Для функции тока Ф^{) возмущения на бесконечности могут изменяться как по алгебраическому, так и по экспоненциальному закону. Если к > 2/3 (? ^ —0,5), то т ^ 0 и, следовательно, для затухания возмущений необходимо потребовать, чтобы A0 = 0. В этом случае возмущения на бесконечности будут затухать по экспоненциальному закону (см. (2.6)). Если 2/3 > к{ > 0, то т < 0 и, следовательно, заранее нельзя положить постоянную A0 тождественно равной нулю. В этом случае в наличии имеются две произвольные постоянные A0 и A1 и любое достаточно быстро затухающее решение для внутренней области может быть плавно сопряжено с асимптотическим решением.
Таким образом, при отрицательных значениях параметра ? решение задачи неединственно, а асимптотика решения при ? < —0,5 неоднозначна (возмущения на бесконечности могут затухать как по алгебраическому, так и по экспоненциальному законам).
§ 2.3. О единственности решения задачи
Система уравнений, описывающая течение совершенного газа в ламинарном пограничном слое на линиях растекания и стекания конических тел в сверхзвуковом потоке, впервые была исследована Moor F. К. [1953]. Им впервые было высказано предположение о неединственности решения задачи на линиях стекания при ? < —0,5 на том основании, что в этом случае на больших расстояниях от обтекаемой поверхности возмущения на бесконечности могут затухать как по алгебраическому, так и по экспоненциальному закону.
В общей постановке задачи вопрос о единственности решения впервые был исследован Башкиным В. А. [1968], где эта задача рассматривалась в переменных Крокко. В последующие годы эта проблема рассматривалась также в ряде других работ (см., например, [Murdock J. W., 1972; Roux В., 1972]), и результаты теоретического анализа были подтверждены данными численного интегрирования уравнений Прандтля на линии растекания и стекания.
Для исследования единственности решения задачи рассмотрим его поведение в окрестности ?^O и представим его в виде ряда по малому параметру ?. Анализ системы уравнений (2.1) показывает, что возможны два типа разложений: регулярное и сингулярное.
§ 2.3. О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
33
Для регулярного разложения
OO OO OO
Щг) = 2 ?". Ф(*) = 2 Ф.(*) Р", G(z) = 2 *.(*) ?"
n-0 в-0 n-0
поведение главных членов определяется системой уравнений
<' + WO = о,
во" + Pr^g0' = 2(1 - Pt)TRvW с граничными условиями
^0(O) = М>о(0) = Фо = Фо(0) = S0(O) = 0, (2.10)
4>(0) = tflw, IM«) =Фо(~) = ^(оо) = 1.
В данном случае система система уравнений (2.9) распадается, и каждое уравнение интегрируется по отдельности. При этом первое уравнение есть хорошо известное уравнение Блазиуса, которое совместно с уравнением энергии (третье уравнение системы (2.9)) описывает течение газа в пограничном слое на плоской пластине при нулевом градиенте давления.
