Задачи по физике и методы их решения - Балаш В.А.
Скачать (прямая ссылка):
ускорением а, давление столба ртути на поверхность 1 - 1 (рис. 9.2)
возрастет, ртуть начнет переливаться в закрытое колено, сжимая
находящийся там воздух. Разность уровней ртути будет уменьшаться до тех
пор, пока упругость воздуха не достигнет значения, необходимого для
равновесия.
Таким образом, при ускоренном движении ракеты происходит изотермическое
сжатие воздуха в закрытом колене, вызванное увеличением веса ртути.
Поскольку в процессе сжатия температура и масса воздуха остаются
неизменными, параметры состояния газа подчиняются закону Бойля -
Мариотта.
Если в неподвижной ракете давление и высота столба воздуха в закрытом
колене были равны рi и 2Я, а при ускоренном подъеме - р2 и Н2, то должно
быть р\2Н = р2Н2, так как сечение трубки всюду одинаково.
По условию задачи исходная высота воздушного столба задана, поэтому
дальнейшее решение задачи состоит в том, чтобы представить в развернутом
виде параметры pi и р2, а также высоту Н2, выразив их через заданные и
искомые величины.
Выбрав поверхность нулевого уровня по границе 1 - /, согласно закону
Паскаля запишем:
Pl=pa + QgH,
Рис. 9.2
207
где ра - атмосферное давление; Я - разность уровней ртути в сосудах в
неподвижной ракете; q - плотность ртути.
Выбирая поверхность одного уровня по границе 2 - 2 для каких-нибудь двух
произвольных точек, лежащих на этой поверхности, при относительном
равновесии жидкости в сосудах будем иметь:
Р2 = ра + Q{g + а)х,
где ?>(g + a)* - давление столба ртути, поднимающейся вертикально вверх с
ускорением а; х - разность уровней ртути в сосудах во время движения
ракеты.
Высоту столба воздуха Я2 во втором состоянии можно выразить через
начальную высоту 2Я, начальную разность уровней ртути Я и конечную
разность х. Как видно из чертежа,
(Второй член правой части равенства численно равен смещению уровней ртути
от начального положения.)
Подставив выражения для р\, р2 и Я2 в формулу закона Бойля - Мариотта, мы
и получим окончательное уравнение для определения неизвестной величины х:
(Ра + QgH) 2Я = [ра + 6 (g + а) х] ^2Я - ~ 2 .
Или, если учесть, что pa - QgH0 и a = g, после сокращений получим:
4 (Я + Я0) Я = ЗЯЯ0 + 2х2 + 6 Нх,
откуда ___________
/17Н2 + 2ННо - 3 Я
2
Пример 4. Компрессор захватывает при каждом качании воздух объемом л=1 л
при нормальном атмосферном давлении и температуре Т\-273 К и нагнетает
его в автомобильный баллон, объем которого V = 0,5 м3; температура
воздуха в баллоне Г2 = 290 К- Сколько качаний должен сделать компрессор,
чтобы площадь соприкосновения покрышки с полотном дороги уменьшилась на
AS =100 см2, если до этого она равнялась S = 450 см2 и на колесо
приходится нагрузка К = 4,9 кН?
Решение. В процессе работы компрессора воздух, нагнетаемый'в баллон,
сжимается от объема, занимаемого им в атмосфере, до объема в камере
автопокрышки. В результате упругость баллона возрастает и площадь его
соприкосновения с дорогой уменьшается. Следует заметить,' что в баллоне и
до этого мог находиться воздух, именно поэтому в условии задачи и
говорится об уменьшении площади соприкосновения покрышки с дорогой,
вызванном увеличением давления, но не о самой пло-
208
щади соприкосновения, величина которой, помимо прочего, зависит от
полного давления в баллоне.
Так как при переходе воздуха из свободного состояния в сжатое изменяются
его давление, объем и температура, то основным уравнением,
характеризующим процесс, служит уравнение объединенного газового закона
Клапейрона.
В первом состоянии (в атмосфере) параметры состояния воздуха равны
соответственно р\, V\, Т\. Во втором состоянии (в баллоне) этот же воздух
после п качаний компрессора будет сжат до давления р2, займет объем
баллона У2 и нагреется до температуры Гг- Объем баллона считается при
этом неизменным. Параметры первого и второго состояний воздуха связаны
между собой уравнением
Pi VI P2V2
Т: - Т2 ¦
По условию задачи нам даны р 1 = р0, V2 - V, T\ и Г2, поэтому нужно
расшифровать Vi и р2.
Если при одном качании компрессор захватывает воздух в объеме v, то весь
воздух, содержащийся в объеме V\, будет перекачан, из атмосферы в баллон
за п качаний, т. е.
У, = tiv.
Чтобы определить давление р2, нужно учесть следующее. Если до того, как
баллон стали накачивать, в нем уже было начальное избыточное давление1 р"
и площадь соприкосновения покрышки с дорогой равнялась S, то
где F - нагрузка, приходящаяся на колесо. После того как баллон
подкачали, избыточное давление в нем возросло на р2 и стало равным р" +
р2\ площадь соприкосновения с полотном дороги уменьшилась на AS и стала
равной S- AS. Так как нагрузка на колесо осталась прежней, то
Исключая из последних двух равенств начальное давление рн и подставляя в
исходное уравнение вместо параметров V\ и р2 их выражения, мы получим
уравнение объединенного газового закона в окончательном виде:
Р\ПУ FASV
Г, S (S - AS) Т2 '
1 Избыточным давлением называется давление сверх атмосферного.
209
i c±a
