Задачи по физике и методы их решения - Балаш В.А.
Скачать (прямая ссылка):
гидростатики.
в) Выписать значения заданных величин и, проверив число неизвестных в
полученной системе уравнений, решить ее относительно искомой величины.
Пример 1. Какую длину /0с и /ом при температуре 0°С должны иметь стальной
и медный стержни, чтобы при любой температуре разность их длин составляла
Д/ = 10 см? Температурный коэффициент линейного расширения стали ас=1,2-
10 К-1, меди
ам = 1,7 • 10_5К~'
Решение. Рассмотрим два тепловых состояния стального и медного стержней:
при начальной температуре /0 - 0°С и при некоторой произвольной
температуре t. Обозначим длину стального стержня при температуре t
через /с, медного - через /м, тогда
/с = /ос(1+асО, (1)
1ш = /ом (1 + ам^). (2)
Дополнительное условие позволяет записать:
/с /м - А/,
в частности,
/ос ^Ом -г- А/. (3)
Вычитая из второго уравнения первое и раскрывая скобки,
получим:
/с /м -' Iqc ^0м locket /омСЬ|Д,
192
откуда с учетом соотношений (3) имеем:
/ocCtc - /омССм ==
Из этого и второго равенства (3) для искомых длин получаем:
/ос = ¦ "-Д/; /ос ^ 32 см; /ом -------------Д/> /ом ^ 22 см.
а" - ас ам - ас
Пример 2. Стальная и латунная полоски толщиной /г = 0,2 см каждая
склепаны на концах так, что при температуре /i = 20°С они образуют
плоскую биметаллическую пластинку. Каков будет средний радиус изгиба
биметаллической пластинки при /г = = 100°С?
Температурные коэффициенты линейного расширения стали и латуни равны ас=
1,2 • 10_5К_|; ал = 1,9 • 10-5К-1.
Решение. Так как коэффициенты линейного расширения латуни и стали
неодинаковы (ал > ас), то при нагревании биметаллической пластинки
латунная удлинится больше стальной и вся пластинка изогнется.
Если при температуре t\ длина средней линии латунной пластинки была равна
1\л, при температуре /г - равна Ьл, то, пользуясь приближенной формулой
(8.5), можно записать:
Ьл = 1\л (1 + алЛ/), (О
где At - t2 - t\ - приращение температуры.
Для стальной пластинки аналогично предыдущему получим:
/2с === /lc (1 "Г CtcA0> (^)
поскольку приращение температуры здесь то же самое.
Чтобы определить средний радиус изгиба R, будем считать, что концы
пластинок при деформации не смещаются относительно друг друга и
толщина их настолько мала, что ее изменением при
нагревании можно пренебречь по сравнению с изменением длины.
Как видно из чертежа (рис. 8.1), kn и /гс связаны с радиусом изгиба R
уравнениями
/2л = ф(/? + Л/2), (3)
/2с = ф (/? - h/2), (4) цл
где "р - угол между торцевыми поверхностями биметаллической пластинки.
Составленная система уравнений полностью отражает все условия задачи и
позволяет определить искомую величину.
Решая уравнения (1) - (4) совместно относительно среднего радиуса R
кривизны биметаллической пластинки, получим:
' *"*"¦
193
Пример 3. Латунная шкала ртутного барометра выверена npli 0°С При
температуре Ч = 20°С барометр показывает давление рб = 760 мм рт. ст.
Каково истинное атмосферное давление ра при этой температуре? Расширением
стекла пренебречь. Температурные коэффициенты линейного расширения латуни
и объемного расширения ртути соответственно равны а = 1,9 • 10-5К_| и р =
= 1,8 • 10~4К
Решение. Если шкалу барометра выверить при какой-либо температуре,
например при 0°С, то при всякой другой температуре его показания не будут
соответствовать наружному давлению. Объясняется это тем, что с повышением
температуры плотность ртути уменьшается и при неизменном атмосферном
давлении высота столба ртути в барометрической трубке возрастает. Кроме
того, шкала, по которой отсчитывают высоту столба, удлиняется и цена
одного деления становится больше значения, указанного на шкале Чтобы
определить истинное давление, показание барометра нужно привести к той
температуре, при которой его шкала выверена, в данном случае к 0°С.
Делается это сравнительно просто: находят число делений шкалы, в которые
укладывается высота измеряемого ртутного столба, рассчитывают по формуле
теплового расширения новую цену деления и по этим данным определяют
действительную длину ртутного столба. Зная эту длину и плотность ртути
при температуре измерений, можно вычислить и само атмосферное давление.
Если при температуре Ч = 20°С ртуть в барометрической трубке достигла
высоты hi (п-го деления шкалы), то показания барометра равны:
p6 = Q\ghi = Qignlu (1)
где qi -плотность ртути при температуре Ч; 1\ - цена одного деления
шкалы. Так как расстояние /о между двумя соседними рисками на шкале
выверено и равно единице (1 мм) лишь при 0°С, то h будет больше истинной
цены деления /о, указанной на шкале
Если температурный коэффициент линейного расширения латуни равен а, то 1\
= /о(1 + аЛ), и в единицах длины /0 высота ртутного столба при
температуре t\ равна:
h\ = n/o(l -Г- Q-t\). (2)
Так как по условию задачи атмосферное давление не изменяется, то pa =
Qogho, и в то же время p3 = Q\ghu откуда
Qoho - Q\hu (3)
где go - плотность ртути при 0°С; ho - высота, на которую поднялся бы
столб ртути при температуре 0°С. Плотность ртути
