Задачи по физике и методы их решения - Балаш В.А.
Скачать (прямая ссылка):
сопротивления воздуха и небольшой начальной скорости летит по параболе и
время движения по оси Ох равно времени движения по оси Оу, поскольку оба
эти движения происходят одновременно.
Составив полную систему кинематических уравнений, описывающих движение
точки, и проверив число неизвестных - оно должно быть равно числу
уравнений, можно приступать к ее решению относительно искомых величин,
руководствуясь данными ранее указаниями.
В связи с введением в школьную программу элементов высшей математики,
можно предложить ряд задач, требующих применения методов математического
анализа к исследованию функции на экстремум. Схема решения задач, в
которых требуется определить максимальное или минимальное значение одной
из кинематических величин, остается прежней: нужно получить
алгебраическое выражение искомой величины в произвольный момент времени,
записав ее через заданные характеристики движения. Чтобы найти максимум
или минимум этой величины или условие, при котором она будет
экстремальной, нужно продифференцировать полученное выражение и
приравнять производную к нулю. В результате мы получим уравнение, из
которого можно найти значение переменного параметра, определяющее
максимальное или минимальное значение искомой величины. Будет ли функция
иметь максимум или минимум, можно иногда определить из физических
соображений, а в общем случае - по второй производной. Если вторая
производная окажется больше нуля, функция имеет минимум, если меньше -
максимум. Подставляя найденное значение параметра в исходную формулу, мы
получим экстремальное значение искомой величины.
в) Задачи о движении точки по окружности принципиально ничем не
отличаются от решения задач о прямолинейном движении. Особенность состоит
лишь в том, что здесь наряду с общими формулами кинематики точки
приходится использовать формулы
(1.12) - (1.14) для линейной скорости и центростремительного
ускорения.
г) Решение задач о вращении твердого тела вокруг неподвижной оси основано
на применении формул (1.17) с учетом (1.18) и (1.19). Как и в случае
поступательного движения, для составления кинематических уравнений
вращательного движения достаточно использовать только основные формулы -
уравнения угловой скорости и углового перемещения.
д) В заключение остановимся на задачах, требующих использования графиков.
Основное требование, которое предъявляется при решении таких задач,- это
твердое знание графиков элементарных функций и умение их исследовать. В
частности, нужно хорошо знать уравнение прямой линии и параболы,
отображающих геометрически скалярные уравнения ускорения, скорости, пути
и
18
координаты при равномерном к равнопеременном движениях.
Первую группу графических задач составляют задачи, в которых дается
график зависимости (обычно от времени) одних кинематических величин и по
нему нужно построить график зависимости между какими-либо другими
величинами. Приступая к решению таких задач, необходимо внимательно
проанализировать предложенный график, установить характер заданного
движения и представить данную зависимость в виде уравнения. По этому
уравнению нужно определить искомую зависимость и, исследовав ее,
построить нужный график. При достаточном навыке в решении подобных задач
искомый график можно строить сразу, не прибегая к алгебраическим
выкладкам.
Вторую группу составляют задачи, решение которых предполагает отображение
условий, заданных аналитически, на одном из графиков зависимости
кинематических величин от времени. Как только условия такой задачи
записаны графически, ее дальнейшее решение состоит в том, чтобы найти ту
или иную величину на вычерченном графике, что, как правило, особого труда
не представляет. Большое внимание в задачах подобного типа следует
обращать на рациональный выбор графика, на котором будет удобнее всего
представить условия задачи и легче всего указать искомую величину.
Пример 1. Велосипедист ехал из одного города в другой. Половину пути он
проехал со скоростью v\ - 12 км/ч. Далее половину оставшегося времени он
ехал со скоростью иг = 6 км/ч, а затем до конца пути шел пешком со
скоростью из = 4 км/ч. Определите среднюю скорость велосипедиста на всем
пути.
Решение. Установив, что задача дана на равномерное прямолинейное движение
одного тела, и представив себе весь процесс движения, делаем
схематический чертеж (рис. 1.1). При составлении чертежа прежде всего
изображаем траекторию движешя и выбираем на ней начало отсчета движения
(точка О). Весь путь разбиваем^на три отрезка sj, "г, S3, на каждом из
них указываем скорости v\, V2, V3 и отмечаем время движения t\, ti и Д.
Составляем уравнения движения для каждого отрезка пути:
Sj = V\t\\ S2 == ?>2^2'. S3 - vzti -
и записываем дополнительные условия задачи:
Читаем еще раз условие задачи, выписываем числовые значения известных
величин и, определив число неизвестных в полученной системе уравнений (их
семь: Si с~ *• п 71 '
v, v2 v3
tf ! t2 1 tj I
