Задачи по физике и методы их решения - Балаш В.А.
Скачать (прямая ссылка):
каком максимальном расстоянии / от точки О' бусинка может находиться в
равновесии относительно стержня, если коэффициент трения между ними равен
р.
Решение. При вращении стержня на бусинку действуют три силы: сила
тяжести, равная mg, нормальная реакция опоры N, направленная
перпендикулярно стержню, и сила трения покоя Fтр, направленная вдоль
стержня к точке О'. То, что сила трения направлена вниз, а не вверх,
следует из того, что расстояние / должно быть максимальным.
Действительно, находясь на максимальном расстоянии, бусинка при
увеличении скорости вращения стала бы сразу двигаться вверх, по
раскручивающейся спирали,
а это возможно лишь в том случае, когда направление. Нетрудно заметить,
что, если бы речь., шла о минимальном /, силу трения следовало бы
направить вверх.
Под действием приложенных сил бусинка равномерно движется по окружности
радиусом
R = /sin а (1)
в горизонтальной плоскости. Такое движение может происходить лишь при
условии, что силы mg, N и Frp в сумме оказываются направленными к центру
окружности С и изменяют только направление вектора скорости, сообщая
бусинке только нормальное ускорение а". Действие этих сил можно заменить
"тр имеет указанное
Рис. 2.11
71
действием одной силы - их равнодействующей, равной векторной сумме
приложенных сил. Согласно второму закону Ньютона для модуля F
равнодействующей должно выполняться равенство
F = |mg + jV + ЛР1 = та", гДе а" = ю2#-
Чтобы найти из этого равенства какую-либо величину, нужно вычислить
модуль суммы, стоящей в' левой части равенства. Проще всего это сделать
так. Выберем систему отсчета - Землю и свяжем с ней прямоугольную систему
координат. Ось Ох направим по радиусу вращения бусинки,*' ось Оу -
вертикально вверх. Спроецируем силы, приложенные к бусинке, и ее
ускорение на оси координат. Как видно из чертежа, проекции векторов на
ось Ох равны: jVcos a, FTpsin а, 0 и со2/?, проекции на ось Оу равны:
//sin а, - Krpcos а, - mg и 0.
Составляем основное уравнение динамики для проекций на оси:
N cos а + FTpsin а = тш2/?, (2)
jVsin а - FTpcos а - mg - 0. (3)
Из этих уравнений следует:
F = N cos а + FTpsin а.
Поскольку бусинка находится на грани скольжения (расстояние I
наибольшее), то
Frp = \xN. (4)
Составленные уравнения полностью отражают динамику движения бусинки.
Решая их относительно /, получим:
I (1+ntgcQg
or (tg а - в) sin а ' "
Анализируя этот результат, нетрудно заметить, что при а = 90° tga=oo и
1=Щ-. При 90°<а<180° tga<0, и, следовательно,
(О
^ _ "tg a - l)g ы2 (tg a + ц) sin a
Пример 13. Конькобежец массой M, стоя на коньках на льду,
бросает шайбу массой т под углом а к горизонту. Определите
начальную скорость конькобежца, если шайба брошена со скоростью
и: а), относительно Земли; б) относительно человека.
Смещением тел за время бросания пренебречь.
Р е ш е н и е. а) Начальную скорость конькобежца можно определить из
закона сохранения импульса, поскольку в задаче рассматриваются два
состояния системы тел и характер сил взаимодействия неизвестен. Если
пренебречь смещением тел за то время, в течение которого человек сообщает
скорость шайбе, то даже при наличии трения можно с большой степенью
точности считать, что
72
на, систему Земля - человек - шайба внешние силы не действуют, т. е. эта
система является изолированной и закон сохранения импульса в ней
выполняется.
Делаем схематический чертеж (рис. 2.12) и изображаем на нем импульсы
каждого тела до и после изменения их движения - до и после броска.
Перед бросанием все тела находились в покое, импульс каждого тела был
равен нулю, равнялась нулю и их векторная сумма^ В конце броска импульс
шайбы_ равен ти, конькобежца Ми, земного шара M3v3. Здесь и, v и v3 -
скорости тел относительно точки пространства, где находился конькобежец в
момент бросания. Эту точку можно считать неподвижной, так как по условию
задачи смещение тел за время бросания ничтожно мало.
Согласно закону сохранения импульса
О =: tnii -j- Mv "f- M3v3.
Поскольку импульсы тел направлены под углом друг к другу, для упрощения
вычислений удобно перейти от векторной записи уравнения к скалярной,
представив его в проекциях по осям прямоугольной системы координат Оху.
Выберем начало координат в точке бросания О и направим оси Ох и Оу вдоль
поверхности Земли и по нормалш к ней. Спроецируем векторы Mv, ти и M3v3
на эти оси. Как видно из чертежа, проекции импульсов тел по осям равны: -
Mv, mucosa, 0 и 0, mu sin а,-M3v3.
Учитывая, что до броска импульсы всех тел были равны нулю, записываем
уравнение закона сохранения импульса в проекциях.
Для оси Ох мы имеем:
О = ти cos а - Mv. . (1)
Для оси Оу.
О = ти sin а - М3и3. (2)
Из уравнения (1) скорость конькобежца получается равной
т
v и cos а.
м
Уравнение (2) позволяет оценить скорость Земли, которую она приобретает
во время толчка. Решая его относительно v3, получим:
т
щ = -- usm а.
м3
Из выражения для этой скорости видно, что она ничтожно мала, поскольку
