Задачи по физике и методы их решения - Балаш В.А.
Скачать (прямая ссылка):
равно:
яЧг-
Уравнениями (1) - (6) условия задачи исчерпываются полностью. В этих
уравнениях неизвестными являются F, тi, m2, а, N и п. Решая их совместно
относительно искомой силы F и подставляя числовые значения, получим:
+ г2) узе н
qzо V. zMl / 4
Чтобы нить натянулась, нужно к шарику меньшей массы приложить силу Fmin >
F.
Разобранный нами пример показывает, в частности, как велика сила
электрического взаимодействия по сравнению с теми силами, которые нам
встречаются в повседневной жизни.
Пример 2. Три проводящих шарика радиусами г, 2г и 3г, на которых
находятся заряды 3q, -2q и 3q, расположены в вершинах тетраэдра с ребром
Rl$> г. Определите напряженность и потенциал электрического поля в
четвертой вершине тетра-
250
эдра, а также потенциал в центре шариков. Какой потенциальной энергией
электрического взаимодействия обладают шарики?
Решение. Предположим, что шарики находятся в вершинах основания пирамиды
(рис. 11.5), и надо найти напряженность поля и потенциал в точке А и
потенциалы в центрах шариков В, С и D. Рассмотрим точку А. Поле в ней
создается заряженными шариками.
Проставляем векторы напряжен-^ ности Е\, Ez и ?3 полей, созданных шарами
с зарядами 3q, -2q и 3q соответственно. Условие г позволяет не учитывать
смещение зарядов на шариках и считать, что они распределены по
поверхности равномерно. Сразу же можно заметить, что модули векторов Е\ и
Ез равны, Рис ц_5
поскольку заряды, создающие эти поля, и расстояния от них до точки А
одинаковые.
Проставляя векторы напряженности, следует обратить внимание на их
направление. В случае положительных зарядов векторы напряженности
направлены от них, в случае отрицательных - к ним.
Согласно принципу наложения полей напряженность результирующего поля в
точке А равна:
ЕА = Ei -j- E<i -j- Ез.
Модуль суммы векторов, стоящих в правой части равенства, проще всего
найти попарным сложением векторов по^правилу параллелограмма. Поскольку
модули векторов Е\ и Ез равны и угол между векторами равен 60°, их
результирующий вектор ?1,3 является диагональю ромба, построенного на
этих векторах, и его модуль равен: _?ij3 = 2?i cos 30°. _ _
Чтобы найти Еа, нам нужно сложить векторы ?1,3 и ?2. Оба эти вектора
лежат в плоскости ABE (AF - высота равностороннего треугольника ACD),
поэтому, применив теорему косинусов, получим:
Еа = VElз + EI- 2?,,з?2 cos р .
Угол р, как Видно из чертежа, равен углу между ребром и гранью пирамиды.
Из треугольника ABF, поскольку он равнобедренный (A F = BF),
251
cos 6 = --5--
2 cos 30
С учетом этого равенства, а также выражения для Е\,з после небольших
преобразований находим:
Еа = У3?? + Я22 - 2Е,Е2 . (1)
Напряженность электрического поля, создаваемого заряженным шариком за его
пределами, такая, как если бы весь заряд шарика был сосредоточен в его
центре, поэтому
?, = Ез = -^-; ?2=-^-. (2)
4лео R AnzaR
Из уравнений (1), (2) искомая напряженность поля в точке А получается
равной:
Е - У А 4яео R2
Потенциал поля в точке А равен алгебраической сумме потенциалов полей,
созданных заряженными шарами:
Фл = <Pi + фг + фз- (3)
Потенциал поля шариков за их пределами равен:
3? . -2д
ЛЕо R
Из уравнений (3) и (4) находим:
ф> = фз=т^; ч*=-г\- (4)
AnzoR AmaR
Я
ЯЕо R
Потенциал поля в центре шариков равен потенциалу на их поверхности.
Последний складывается из потенциала собственного поля шарика и
потенциалов полей двух других шариков. Учитывая, что R^$> г, а также
знаки зарядов на шариках, мы можем записать:
ФС = = _ia_ + _39_ _ _2а_ ~ -*3- ¦
Апе0г AmoR AnzoR 4яеоГ
wB = 2--------------*?-"-2=1-.
4яео^? 4яе0г 2ле ar
Потенциальную энергию системы находим по формуле (11.13). Поскольку R^>r
и заряженные тела близки к точечным зарядам, то
№'p = 4-(3Wc + 3<7фд - 2q<pB) =
2Ч-7-ГС1 IT U -7ТО/ 4яео/.
252
Пример 3. Металлический шарик радиусом г, имеющий заряд q, помещен в
центр незаряженного сферического слоя, внутренний и внешний радиусы
которого равны R\ и R2. Найдите напряженность и потенциал элек+рического
поля, создаваемого системой, если: а) слой изготовлен из металла; б)
металлический слой заземлен; в) слой изготовлен из диэлектрика с
проницаемостью е.
Решение. Расчет полей, создаваемых заряженными сферами, основан на
формулах (11.4) для напряженности и (11.9') для потенциала электрического
поля, а также принципе наложения полей (11.6), (11.10). Чтобы найти
напряженность и потенциал поля в той или иной точке пространства,
создаваемого несколькими сферами, нужно прежде всего знать их заряд.
Определение модуля и знака заряда, закона распределения заряда на телах,
помещенных в электрическое поле, представляет, как правило, основную
трудность в решении почти всех задач подобного типа. Если же удается
найти эти заряды, то напряженность и потенциал результирующего поля
системы определить легко.
а) Поместим проводник в электрическое поле; в нем под действием сил
поля произойдет разделение зарядов и на поверхности появятся
индуцированные заряды. Разделение зарядов происходит до тех пор, пока
