Задачи по физике и методы их решения - Балаш В.А.
Скачать (прямая ссылка):
скорость^Уо, угол бросания а, высоту Л, горизонтальное перемещение s,
скорость в момент падения у (она направлена по касательной к траектории в
точке падения) и угол падения ср (углом падения тела назы-4 вают угол
между касательной к траектории, проведенной в точку падения, и нормалью к
поверхности Земли).
Для составления кинематических уравнений движения спроецируем векторы
скорости со и с и вектор ускорения g на оси координат Ох и Оу. Проекции
этих векторов, как видно из чертежа, равны соответственно
а,б) Составляем уравнения скорости и движения снаряда в проекциях по
осям. Так как проекция ускорения на горизонтальную ось равна нулю, то у*
и х в любой момент времени удовлетворяют уравнениям
Uocos a, y0sin а, vx, vy, 0 и -g.
(1)
(2)
В момент времени 11, когда снаряд упадет на землю, его координаты равны:
х - s; у - - h. (5)
В последнем уравнении h взято со знаком "минус", так как за время
движения снаряд сместится относительно уровня отсчета О высоты в сторону,
противоположную направлению, принятому за положительное.
Результирующая скорость в момент падения равна:
V - 4- v'y. (6)
В составленной системе уравнений пять неизвестных; нам нужно определить
s и о.
Из уравнений (4) и (5) находим время полета снаряда:
, vo sin а -f- |/с'с sin2 a -f- 2g!i
S
Подставляя выражение для t\ в формулы (2) и (3) с учетом (5),
соответственно получаем:
rising cos а + r0cosa l/rpSin2a + 2gft (7)
Vy=- /olsirr а + 2gh. (8)
После этого из (6) с учетом (1) и (8) находим:
v= Vv20 + 2 gh. (9)
Из полученных результатов можно сделать следующие выводы.
Если h = 0, т. е. снаряды падают на уровне вылета, то со-, Vo ¦
sin 2а
гласно формуле (7) дальность их полета равна s =----------.
Если при этом угол бросания равен 45° (sin 2а= 1), то при
заданной начальной скорости v0 дальность полета наибольшая:
5 =-21.
шах g
Подставив в выражение (9) значение h - 0, получим, что скорость снаряда в
момент его подлета к уровню, с которого был произведен выстрел, равна его
начальной скорости: v = v0.
При отсутствии сопротивления воздуха скорость падения тел равна'по модулю
их начальной скорости бросания независимо от того, под каким углом было
брошено тело, лишь бы точки бросания и падения находились на одном
уровне. Учитывая, что проекция скорости на горизонтальную ось с течением
времени не изменяется, легко установить, что в момент падения скорость
тела образует с горизонтом такой же угол, как и в момент бросания.
в) Угол падения можно найти, исходя из того, что скорость тела в любой
точке траектории направлена по касательной. Из
23
рисунка 1.3 видно, что в точке падения tgcp = -, Откуда с учетом
выражений (1) и (3) получим:
tg Ф = - .
yulsirE а + 2g/t
г) Чтобы найти уравнение траектории снаряда, нужно установить связь между
его координатами д и у в произвольный момент времени t. Если в уравнениях
(2) и (4) под х и у подразумевать смещение снаряда по осям (учитывая, что
эти уравнения справедливы для всего движения снаряда), а под t - время,
по истечении которого снаряд из точки О попал в данную точку траектории,
то, исключая из уравнений t, мы и получим искомое уравнение. Найдем из
уравнения (2) время t и, подставив его в уравнение (4), будем иметь:
у = tg ах - д2.
2i'5cos- а
Это уравнение вида у= - ах2 + од; оно представляет собой уравнение
параболы, проходящей через начало координат О'к обращенной выпуклостью
вверх. Таким образом, тело, брошенное под углом а к горизонту, при
отсутствии сопротивления воздуха летит по параболе. Нетрудно заметить,
что этот вывод имеет место для любых углов бросания.
д) Решая уравнения (2), (4), (5) относительно начального угла бросания а,
получим:
*(1±/Г+^.-(*у). "о,
iga-
gs
Поскольку угол бросания не может быть мнимым, то это выражение имеет
физический смысл лишь при условии, что
^5 \ i'o )
т. е. .S <С v" * и'г + 2?/г, откуда следует, что максимальное перемещение
снаряда по горизонтальному направлению равно:
Vvl + 2gh
g
Подставляя выражение для s = smax в формулу (10), получим для угла а, при
котором дальность полета наибольшая:
tg а ¦
V!)
gsmax \/~vl 2gh
Пример 5. Камень брошен на склоне горы под углом а к ее поверхности (рис.
1.4). а) Определите дальность полета камня и его наибольшую высоту
подъема над склоном, если начальная скорость камня равна v0, угол наклона
горы к горизонту р. б) По какому закону изменяется с течением времени
нормальная и ка-
24
Рис. 1.4
сательная проекции полного ускорения камня, а также радиус кривизны
траектории? Сопротивление воздуха не учитывать.
Решение, а) Выберем прямоугольную систему координат с началом отсчета в
точке бросания камня так, чтобы ось Ох шла вдоль поверхности Земли, а ось
Оу-перпендикулярно к ней.
Изобразим на чертеже (рис. 1.4, а) траекторию движения камня, его
начальную скорость v0 и ускорение g. Отметим также координаты камня в
интересующий нас момент времени (в момент падения): x - s, у = 0. Для
составления кинематических уравнений движения камня спроецируем векторы
