Сборник задач по физике - Баканина Л.П.
Скачать (прямая ссылка):
371. Емкость конденсатора, по определению, равна
где q — заряд конденсатора, F-разность потенциалов между обкладками.
Определим F. Потенциал первого шарика Fi, несущего заряд + q, слагается из его собственного потенциала q/4near и потенциала в поле второго шарика, равного — q/4maa. Итак,
і)-
Поскольку нам дано, что а > г, то с хорошей точностью имеем
4яе0г '
Следовательно,
С = 2яе0г.
Замечание. При решении неявно предполагалось, что заряды по поверхности шариков распределены равномерно. На самом же деле взаимное влияние шариков нарушит равномерность распределения зарядов таким образом, что их поверхности окажутся эквипотенциальными. Однако неравенство a ^ г позволяет пренебречь этим эффектом (почему?) и пользоваться приведенными в решении выражениями для потенциалов.
372. Пусть разность потенциалов между точками a, b равна Faj. Известно, что работа, совершаемая при переносе заряда вдоль любого замкнутого контура в электрическом поле, равна нулю (если в контуре отсутствуют электродвижущие силы); следова-
4neaVl = —----
г а
аналогично
4neuV2--3L + -3-.
г а
Разность потенциалов
K=F1-F2 = AfI..
4яв0 \г
272 тельно, равно нулю и полное изменение потенциала. Будем мысленно переносить пробный заряд вдоль контура dabd по часовой стрелке; тогда, учитывая направление электрического поля в конденсаторах, в Ci совпадающее с направлением обхода, а в C2 противоположное ему, получим
Vda + Vab-Vdb=O. (1)
Отсюда
Vab = Vdb - Vdc, (2)
но
vdb~Vc,-TT. Vda=Vc=^. (3)
^ 2 о j
Результирующая емкость цепочки Cu С равна
CC і С + С,'
СІ-7ЇЇГ. (4)
Заряд конденсатора С[ равен заряду конденсатора Cj (последовательное соединение):
аналогично,
Используя (3), (5) и (6), получаем на основании (2)
C(C1-C2)
Vab'
(С + С,) (С + C2) '
Знак разности потенциалов Vab зависит от соотношения величин емкостей конденсаторов C1 и C2. Задачу можно решить и так:
Va-V-V0i, Vb = V-Vcs, Va-Vb=Vab = Vc-Vc,
Нетрудно убедиться, что результаты в обоих случаях получаются тождественными.
373. Электродвижущая сила измеряется работой, совершаемой при перемещении единичного положительного заряда по некоторому замкнутому контуру. Будем мысленно переносить пробный заряд вдоль контура dabd (по часовой стрелке); тогда на основании указанного выше имеем
vCt + vab =
IIO
у „і* vCi Ci '
где
/ \ С [С*2 ^c1-OfI-^2) с,+ с3.
18 Л. П. Бакакнка в др. 273 (см. задачу 372). Отсюда
т/ ^fii + ?гС2 УаЬ=ж C1 +C2 '
374. До замыкания ключа конденсаторы C1 и C2 были соединены последовательно и подключены к батарее. Их заряды были равны. На правой пластине конденсатора C1 и на верхней пластине конденсатора C2 заряды имели разные знаки, суммарный заряд этих пластин был равен нулю. После замыкания ключа разность потенциалов между пластинами конденсатора C1 и заряды на них стали равны нулю, а пластины конденсатора C2 приобрели заряды ± С2% (на верхней пластине заряд + C2g). Таким образом, суммарный заряд правой пластины конденсатора C1 и верхней пластины конденсатора C2 теперь стал C2g\ Этот заряд и протек через гальванометр при замыкании ключа К.
375. Суммарные заряды левой и правой пар конденсаторов должны быть равны между собой, так как эти пары соединены последовательно. Тогда разность потенциалов на них обратно пропорциональна емкостям. Получаем для левых конденсаторов
Ъ С1 + С2 + Съ + С4'
и для правых
F2 = ;
С. + C3 С^С.+ С.+ С,-
Зяряды конденсаторов C3 и C4:
C3 (C2+C4) C4 (С,+ C3)
<7з = S
C1 + C2 + C3 т C4 ' 44 C1 + C2 + C3 + C4 •
Правая пластина конденсатора C3 заряжена отрицательно, левая пластина конденсатора C4 — положительно. Суммарный заряд этих двух пластин
_ UC1C4 -C2C3)
<?-<?4-<?3- Сі + С2 + Сз + С4-
Так как до замыкания ключа все конденсаторы были незаряжены, то и заряды этих двух пластин, очевидно, были равны нулю. Следовательно, q и есть искомый заряд, протекший через гальванометр.
376. Потенциалы сфер должны быть равны между собой, следовательно,
?1 ^ <72 C1 C2
где qt, q2, Cit C2 — заряды и емкости соответственно первой и второй сфер. Первую сферу ввиду большой длины соединительной проволочки можно считать уединенным проводником, а емкость ее равной 4ле0г\.
По условию задачи расстояние между второй сферой и оболочкой мало по сравнению с их радиусами. Следовательно, шар с оболочкой можно рассматривать как плоский конденсатор с пло-
274 шадью 4лг\, расстоянием между пластинами R-гг и соответственно
емкостью
Учитывая, что <7i+<72 — Q> получаем ответ:
<7i =
.2 2
(так как г2 /?2, то площадь «конденсатора» можно принять равной 4лR2; тогда ответ несколько видоизменится). Отметим, что при решении существенным образом использовано то обстоятельство, что длина проволоки (т. е. расстояние между шарами) значительно превосходит радиусы шаров. Понять это поможет замечание к решению задачи 371.
377. Так как заряды пластин плоского конденсатора равны по абсолютной величине и противоположны по знаку, то они создают внутри конденсатора равные по напряженности и одинаково направленные электрические поля. Эти поля, складываясь, образуют полное поле E внутри конденсатора. Поле равномерно заряженной плоскости Eі можно рассматривать как поле, создаваемое одной из пластин плоского конденсатора. Тогда, очевидно,
