Сборник задач по физике - Баканина Л.П.
Скачать (прямая ссылка):
ф(г~т)==/+Л/ь л/і = /аіАГ,
<р Iг + y-j = I + M2, M2 = Ia2 ДТ,
(1+0-1 ДГ) (г + у) = (1 + O2 А Г) (г -
Следовательно,
[2 + (а, + а2) ДТ] Рис. 231. Г= (O2-O1) ДГ = 25 СМ-
201. При охлаждении стержень сжимается. Его длина становится равной
/ = I0 U-O(T2-T1)], откуда Lfl ^a(T2-T1).
h
После отогрева стержня, зажатого в обойму, его длина остается равной I, а сжатие I0 — I будет теперь вызвано упругими силами. Запишем закон Гука
Lzl-Lp
I0 E
где P — давление со стороны обоймы на стержень в направлении оси стержня. Сравнивая два выражения для (Iq — 1)/Iq, найдем искомое давление:
P = Ea (T2 - T1) = 4,02 • IO8 н/м2 = 40,2 атм.
Обратим внимание на то, что давление не зависит от длины стержня.
202. При нагревании длина внутренней окружности кольца увеличилась:
I = I0 [1 + 0(7-,-7-2)], LzL-^a(T1-T2),
I0
где / и I0 — длины внутренней окружности при температурах T1 =573° К и T2- 29Г К соответственно, а а — коэффициент линейного расширения. Пренебрегая уменьшением диаметра стального цилиндра под действием сжимающих усилий со стороны кольца, можно считать, что после охлаждения кольца длина его внутренней окружности остается равной I и кольцо окажется растянутым упругими силами. Так как в нашем случае толщина кольца мала по сравнению с его диаметром, можно считать, что относительные удлинения всех слоев кольца одинаковы и равны (I —10)/10. Тогда
218 растяжение кольца можно связать с растягивающим усилием при помощи закона Гука:
I-I0 ±F_
/о = E S'
где F — растягивающая сила, S — сечение кольца, a E — модуль Юнга. Окончательно для F получаем
F = Ea (T1- T2) = 3360 н.
Это решение не вполне точно не только потому, что мы заменили неоднородную деформацию кольца однородным растяжением, но и потому, что радиальные напряжения в кольце вызывают изменение длины его окружности. Чем меньше толщина кольца по сравнению с его диаметром, тем меньше поправки, вносимые этими обстоятельствами.
203. Результат может быть получен из общих соображений о том, что при равномерном нагреве однородного материала в нем не должно возникать механических напряжений, если его внешние границы не закреплены. Следовательно, изменение любого линейного размера образца может быть определено по формуле линейного расширения
Ii = 1(1 + аЛГ). (1)
Для доказательства этого утверждения рассмотрим, например, однородное кольцо с внешним диаметром D и внутренним диаметром d. После нагрева на ДГ его внешний и внутренний диаметры станут равными
Di = D (1+<хДГ),
di = d([ + аДГ). U
Толщина кольца при этом будет равна
^(1+«АГ). (3)
Таким образом, толщина кольца также преобразуется по формуле линейного расширения. В нашем случае формулу (1) следует применить непосредственно к диаметру отверстия в диске. Это дает
ЛГ = T (jIr-1H820'
т. е. диск нужно нагреть до 182° С.
204. При нагревании стержня от температуры T1 до температуры T2 без ограничивающих стенок он удлинится на величину
M = Mi +M2 = у (а, + а2) (Ti-Ti). (О
При ограничивающих стенках нагретый стержень окажется сжатым на такую же величину. По закону Гука (сжимающая сила F в обеих половинах стержня одинакова)
219 Это соотношение, вообще говоря, является приближенным, так как мы заменили длины I1 и I2 обеих частей стержня при температуре T2 их длинами //2 при температуре T1. Легко, однако, понять, что относительная ошибка при определении А/ по этой формуле будет порядка А/// и, следовательно, наше приближение является очень хорошим (так как А/ С /). Из соотношений (1) и (2) найдем
F = E1E2S (T2-T1).
Z1 + h2
Смещение AL места стыка можно определить, приняв во внимание, что оно складывается из перемещения за счет температурного расширения (например, первой половины стержня) и обратного перемещения за счет сжатия:
,r.-rj-^^if^r.-w
205. Условие равновесия жидкости в двух сообщающихся сосудах запишется в виде
Plg^l = Р2 gtf2,
где H1 и H2- высоты столбов жидкости в сосудах, P1 и р2 —их плотности. В нашем случае
p,-p,(l-?A7-),
поэтому
P1H1=P1(I-VAT)H2,
откуда
H2-H1=V ^TH2 « ? ATH1.
Подстановка числовых значений в эту формулу дает H2-H1= 1,56 мм.
206. Изменение уровня воды произойдет из-за того, что объем воды зависит от температуры. Если не учитывать теплового расширения, то изменения уровня воды вообще не будет, так как лед вытеснит точно такой же объем воды, какой он займет, когда растает.
Чтобы найти изменение объема воды, составим уравнение теплового баланса:
Xm + тс (Т -T0) = Mc (T1 - Г),
где m и M — массы льда и воды, Я — теплота плавления льда, с — теплоемкость воды, T0 — температура плавления льда и Tt - начальная температура воды в калориметре. Из этого уравнения найдем установившуюся температуру Т:
Я
MT1 +InT0-т —
Т =_!___?_.
т + M
220 Обозначая через V0 объем воды с массой (т. + М) при температуре Ti, найдем изменение объема и соответствующее изменение уровня воды из уравнений
AV = V0P (7--7-,).
ки v<
MTi + mTa — т.—
C-~Ti
т + M
