Сборник задач по физике - Баканина Л.П.
Скачать (прямая ссылка):
Af1Og
/ AliU2 M2V2 \
V-2~ + 2~ У =
M1M2U2R2 2 (M1 + M2) '
201 170. Пройдя я витков, колечко опустится на высоту пН. Его скорость V при этом будет направлена вдоль спирали и равна
о = V2gnH.
Угол а наклона скорости v к горизонту дается соотношением
Я
tga =
2nR '
(О
(2)
которое поясняется рис. 220. Нормальное давление N колечка на спираль, аналогичное давлению тела на наклонную плоскость (рис. 220), будет равно
N= mg cos a. (3)
Кроме того, со стороны спирали на колечко действует центростремительная сила (очевидно, такая же сила будет действовать и
со стороны колечка на спираль):
mvr
~7Г
(4)
где ur — горизонтальная проекция скорости V.
vr = v cos a. (5)
Сила F направлена вдоль радиуса перпендикулярно к N. Полное давление P колечка будет равно векторной сумме N и F, откуда
Учитывая, что cos2 а = (1) — (6) получим
P1 = VN2 + F2.
An2R2
(6)
1 + 1
из
2nmRg An2R2 + H2
2 a An2R2 + H2 ' VAn2R2 + Ш2п2Н2 + H2.
соотношении
171. Силы, действующие на тележку, даются формулами (3), (4) и (5) задачи 170:
N= mg cos a, (1)
mv'
¦ cos a;
(2)
здесь N — вертикальная сила давления рельсов на тележку, т — масса тележки, F — центростремительная сила (горизонтальная сила давления рельсов на тележку), а —угол наклона рельсов по отношению к горизонтальной плоскости, tg a = H/2nR,
V2 = 2 gtiH. (3)
Чтобы определить условия, при которых тележга перевернется, обратимся к рис. 221. Если ось спирального спуска находится
202 справа от тележки, т. е. рельс А наружный, a D — внутренний, то в момент переворота давление на рельс D исчезнет (тележка переворачивается вокруг наружного рельса); поэтому сила N, определяемая формулой (1), окажется приложенной к точке А. К этой же точке будет приложена и центростремительная сила F. Для равновесия тележки необходимо, чтобы сумма моментов всех сил относительно центра тяжести тележки (точ--
h
ка О) равнялась нулю. Отсюда N —= = Fh и, следовательно,
(4)
Принимая во внимание (1)-(3), а также очевидное соотношение
2 j An2R2
cos а = j + tg2 а = 4л2/?2 + Н2 ,
из (4) получим
R VAn 2R2 + H2 1
--------,С
У///////Л
ШШ
АН cos а
8 пН
8л sin а
mg
Рис. 221.
В заключение отметим, что момент исчезновения давления на рельс D
действительно является критическим. При повороте тележки вокруг рельса А центр тяжести О будет подниматься и приближаться к линии действия силы N. Так как величины сил FnN при этом практически меняться не будут, то в результате поворота тележки момент силы N будет уменьшаться, а момент силы F — увеличиваться. Таким образом, тележке достаточно лишь немного оторваться от рельса D, чтобы она перевернулась.
172. Единственной силой, сообщающей кубикам ускорение а, будет горизонтальная составляющая силы давления клина, поэтому
Ma = F cosa (1)
(силы, действующие на клин, указаны на рис. 222). Если Ь — ускорение клина, то
mb = mg — 2F sin а. (2)
Так как смещение клина вниз на некоторую величину h вызывает горизонтальное смещение кубика на h tg а, то ускорения а и 6 связаны очевидным соотношением:
a = btga. (3)
Совместное решение (1)-(3) приводит к окончательному результату: „ mB tSa
т + 2М tg2 а
(4)
Эту же задачу можно просто решить энергетически. Пусть h— путь, пройденный клином по вертикали после начала движения.
203 В результате кубики приобрели скорость V, а клин — скорость v. Закон сохранения энергии дает
.,2
, - MV2 mv'* mgh = 2 —— + ¦
Учитывая, что 7=otga, и ускорение кубиков я = -
V2
„, , (кубик 2!г tg а
приобрел скорость V, пройдя путь h tg а), вновь придем к соотношению (4).
173. Потенциальная энергия обруча mgh в момент удара о горизонтальную плоскость целиком перейдет в кинетическую энергию поступательного движения и вращения:
2 2 MtC mtc
mgh = -j± + -(1)
здесь оп — скорость поступательного движения центра тяжести обруча, а uB —линейная скорость вращения обруча вокруг центра тяжести. Так как обруч скатывается без проскальзывания, то
Vn=Vs=V (2)
(см. решение задачи 156). Из (1) и (2) следует, что
Vі-gh. (3)
Таким образом, скорость обруча при качении меньше скорости, которую он имел бы, соскальзывая без трення с этой же плоскости, в раз.
При упругом ударе о горизонтальную плоскость вертикальная составляющая скорости v, не изменяя своей величины, изменит направление на противоположное. Вновь используя закон сохранения энергии, получим
mv f
—z—=mgx, (4)
204 где Oi— вертикальная составляющая скорости о. Очевидно, что
oi = Osina; (5)
h ¦ 2
X = j sin2 a.
(4) н (5) дают
174. Как в задачах 156 и 173, условие чистого качения обруча можно записать следующим
образом:
On=Oe= V,
(1)
где Оп—скорость центра тяжести обруча, направленная вдоль стенок ямы, а ов— линейная скорость вращения точек обода вокруг центра тяжести. Скорость центра тяжести V легко найти, используя формулу (3) задачи 173,
v2 = gh, (2)
где
h = (R — г) CDs a ^R cos a. (3)
