Сборник задач по физике - Баканина Л.П.
Скачать (прямая ссылка):
165. Силы, действующие на муфту, указаны на рис. 217: F= k (I-I0)- сила упругости пружины, Alg-Bec муфты и Ar-сила реакции со стороны стержня. Поскольку в установившемся режиме муфта вращается в горизонтальной плоскости с постоянной угловой скоростью, сумма всех действующих на нее сил должна быть центростремительной силой, направленной по радиусу окружности, описываемой муфтой. Следовательно, сумма проекций всех сил на
198вертикаль должна быть равна нулю:
N sin а — Mg — k (I — I0) cos а = О,
откуда
sin a sin а
Рассмотрим теперь сумму проекций всех сил да радиус вращения муфты:
fi = k(l- la) sina + N cos a = Mg 4?^- + -k (/ ~/o)
sin a
sin a
Как уже было сказано, эта сила в установившемся режиме должна являться центростремительной силой /2 = Mm2I sin а. Равновесноё значение / найдется из равенства
Z1 - t*
J _ kla — Mg cos a fe — Mи2 sin2 a
Исследуем, является ли найденное положение муфты устойчивым. Для этого построим графики МО и /г (0 (рис. 218). Это прямые линии, одна из которых (/2) всегда проходит через начало координат, ее наклон задается условием tg у = Mco2 sin а. Расположение и наклон второй прямой (f|) зависит от параметров системы
tg?=-^, а /i (0) = (Mg cos а — kla)
sin a
Рис. 218.
Равновесное значе-
ние определяется точкой пересечения. Возможны два типа пересечения этих прямых, изображенные на рис. 218 (случаи а и б). Случай а соответствует положению устойчивого равновесия, так как если / немного увеличится, Z1 возрастет больше, чем необходимо для устойчивого вращения, и система вернется к исходному положению. Точно так же, если / уменьшится, fі окажется меньше, чем f2, и радиус окружности будет возрастать, т. е. система и в этом случае вернется в положение равновесия. Из тех же соображений видно, что случай б соответствует положению неустойчивого равновесия.
Как видно из рис. 218, случай а реализуется при выполнении следующих двух условий:
sin a
kla > Mg cos a,
(I)
> Mco2 sin a,
или
CO <
nr/-
(2)
199Таким образом, муфта имеет устойчивое положение равновесия на штанге лишь при выполнении условий (1) и (2). Заметим в заключение, что в данной задаче не учитываются силы трения и, следовательно, любые возмущения равновесного режима не должны затухать. Различие между положениями устойчивого и неустойчивого равновесия проявится в следующем: при малом смешении муфты из устойчивого положения равновесия она будет в дальнейшем совершать малые колебания около этого положения; при малом смещении из неустойчивого положения муфта уйдет далеко и никогда не вернется в положение, близкое к равновесному.
166. Если F-сила, деформирующая пружину, I0 — ее начальная длина, а / — длина при действии силы F, то из условия задачи следует, что
При вращении штанги сила натяжения пружин является центростремительной силой. Поэтому тсо2/? = 26/?; здесь R- радиус окружности, описываемой шайбой. Двойка учитывает влияние обеих пружин. Отсюда найдем:
2 26 co2 = -.
т
Угловая скорость не зависит от R, Это значит, что шайба на вращающейся штанге будет находиться в положении безразличного равновесия.
167. Воспользовавшись результатами решения задач 164, 166, сразу запишем:
2 /-/ = / = 6mg. (1)
Здесь /—начальная длина пружины, от —масса груза А, б —коэффициент пропорциональности. Из (1)
б = —. (2)
mg
Пусть при вращении пружина отклонилась от вертикали на угол а. Тогда радиус окружности, описываемой грузом А в горизонтальной плоскости, будет Lsina и центростремительное ускорение груза Lco2 sin a. Это ускорение будет вызываться горизонтальной составляющей силы F натяжения пружины, откуда
F sin a = mco2L sin a, F= ma2L-,
на основании (1)
F-!^-. (4)
Из (2)-(4) окончательно имеем:
2 L~l ~ТГ
200.168. Задача аналогична предыдущим (задачи 165— 167). Силы, действующие на каждую из муфт, изображены на рис. 219, а их горизонтальная и вертикальная проекции соответственно:
k (I-I0)-N cos а = Mg-N sin а =
Исключая отсюда силу N нормального I = 2H tg а, получим
Mco2 Lt
0.
давления и учитывая, что
H=
Mg + kla tg а (2ft - ЛЇш2) tg2 а
Рекомендуем читателю исследовать это решение на устойчивость, подобно тому как это сделано в задаче 165.
169. Цилиндры начнут двигаться друг относительно друга без проскальзывания, если их линейные скорости t>i и V2 станут одинаковыми, т. е. если
V1 = V2=V. (1)
Обозначим начальную линейную скорость первого цилиндра и0.
Тогда рис_ 219.
V0 = ®R.
Сила трення F, одинаковая для обоих цилиндров, будет первый из них тормозить, а второй ускорять. Второй закон Ньютона для этого случая сразу дает
V0-V
F = M
F = M2
'2
(2)
(3)
Если учесть, что время t действия силы F для обоих цилиндров одно и то же, то из (2) и (3) получим
M2V — M1 (va — v),
откуда
M1V0
M1 + M2
(4)
Чтобы найти тепловые потери, заметим, что начальная энергия си-
,, 2/Г. ^М2 . M2V2 „
стемы была M\vy2, а конечная стала равна —^--1--^—• ^a3"
ность этих величин дает потери на тепло. Учитывая (4), после несложных преобразований получим