Сборник задач по физике - Баканина Л.П.
Скачать (прямая ссылка):
mg = -
mv*
откуда у = VRg = 2 м/сак.
Рис. 198.
118. На грузы rrtj и т2, движущиеся по окружности, действует только сила Fh натяжения нити. Так как грузы движутся с ускорениями (центростремительными) а2гі и <й2л2, то, воспользовавшись
12 Л. П. Баканнна и др.
177 вторым законом Ньютона, можно написать
OT1WVi = Fh, OT2WV2=Z7H,
откуда Ot1T1 = т2г2. Воспользовавшись этим уравнением и условием г і + r2 = I, найдем
_ Zot2 _ Ittij
OT1 + OT2 OT1 + OT2 *
Найденные значения Ti и г2 соответствуют положению неустойчивого равновесия. В положении равновесия натяжение нити равно
OT1OT2
F11 =
Кинетическая энергия грузов
2,2
OT1 + OT2
а2/.
E = Ei+ E2 = ¦
т,(й г
• +
2 2 т2<о г2
1
OTim,
1т2
а>2/2.
! 2 Ot1+ от2
119. Так как груз вращается в горизонтальной плоскости, то его ускорение, а следовательно, и действующая на пего сила
гт
Рис. 199.
Рис. 200.
(равнодействующая сил тяжести и натяжения нити N) направлены по горизонтальной линии AB (рис. 199). Очевидно, что
f = ma2/?,
где ш — угловая скорость, R = AB, т — масса груза. Подставляя следующие соотношения:
і І 2я г. F •
f= mg гga, /? = L sin a
в исходное уравнение, получим
^2 _ _4n2Z, sin a
4n2Z, cos a
gtga g
120. В данном случае R = AC (рис. 200) R = L sin a + d.
178 Используя соотношения, выведенные дачи, будем иметь
при решении предыдущей за-
/gtg« L sin a + d
8,3
і
сек
121. Если при вращении вала груз остается висеть вертикально, то натяжение штанги не изменится и будет равно весу груза. Если же груз отклонится из положения равновесия на угол а, как показано на рис. 201, то при этом тоже возможно равновесие, при условии IrtVi2L sin а = mg tg а, или cos а = g/a>2L; любое другое положение штаиги будет неустойчивым. Так как cos а^ 1, груз может отклоняться лишь при со > Vg/L = 3 рад/сек. Следовательно, в первом случае, при COi = 2 рад/сек, груз отлониться не может, и T=Ti=IOO н. Во втором случае груз отклонится, так как вертикальное положение штанги соответствует неустойчивому положению равновесия, а отклоненное — устойчивому (почему?). При этом T =T2=* mg/cos a = mv>2L = 160 н.
122. Единственной силой, действующей на снаряд и сообщающей ему центростремительное ускорение, является сила тяжести. Поэтому mg = Iiiv2IR (v — скорость снаряда, R — радиус Земли). Отсюда
V = VRg « 8 км/сек.
Рис. 201.
123. Если mі и т2 — массы звезд, a ri и г2 — их расстояния от общего центра масс, то mi: tn2 = г2: о- Принимая во внимание, что In1 + Iii2 =2М, где M — масса Солнца, и обозначая расстояние между звездами через R, получим
т2 =
2 Mr1 R
(О
Так как сила их гравитационного притяжения является для каждой звезды центростремительной силой, звезды вращаются вокруг их общего центра масс. При этом
Из (1) и (2) получаем
4л2 _ IH1In2 ті -Y2- г 1-у ^2 ¦
4л2 2уM
J2
R3
(2)
(3)
Для системы Солнце —Земля можно написать аналогичное соотно шение:
4л2 \М
(Г/2)2
Rl
(4)
где R0 — расстояние от Земли до Солнца, a M « m3 + М. Из (3) и (4) получаем R = 2RQ = 300 • 106 км.
12*
179 124. На автомобиль действуют сила тяжести mg и сила реакции N моста (равная, по третьему закону Ньютона, силе давления автомобиля на мост). Поэтому второй закон Ньютона сразу дает
mg— N'
mv' R
. Здесь
R
центростремительное
как, по условию, N = чательно:
Так
то окон-
R = 2?І « 127 ж. 8
125. На движущийся автомобиль действуют сила тяжести Р, реакция опоры (моста) N и сила трения Frp (рис. 202). Горизонтальное ускорение автомобиля вызывается силой трения, максимальное значение которой равно
откуда
(Fтр)тах = kN = татах, kN
Omax ~ '
т
Разность сил P и N сообщает автомобилю центростремительное ускорение
P-N = F. mvi
Отсюда
R
Окончательно получаем
Omax = k^g- -j = 2,94 м/сек".
126. Наиболее «опасным» при таком эксперименте является момент прохождения ведром высшей точки траектории. В этой точке на некоторый элемент воды с массой т будут действовать сила тяжести mg и давление N слоев воды, расположенных ближе к дну, причем обе силы направлены вертикально вниз. Сумма этих сил создает центростремительное ускорение
mg + N = та>4.
(1)
Угловая скорость ш будет минимальной, если N = O. При дальнейшем уменьшении со правая часть (1) станет меньше левой и вода
потечет вниз, Таким образом, из (1) (полагая N = 0) получим
»J = f
№ 127. В положении равновесия на шарик действуют сила тяжести P и реакция нити N, направленные по одной прямой в разные стороны (рис. 203). Так как шарик движется по окружности, он обладает центростремительным ускорением. По втооому закону Ньютона имеем
N-P =
mv'
cos а =
т. е. а =60°.
Поскольку о2 = 2gli, a A = L (1—cos а), то N = mg (і + 2 - 2 cos а) = mg (3 - 2 cos а).
Подставляя вместо N предельное значение f0, найдем
3 __Jo_=l
2 2mg 2 '
Если а = 90°, то cos а = 0. Величина [0 для этого случая будет
fo = 3mg = 2,94 н.
